Node Analysis - Matrix Vector equation 세우는 법(빠르게 KCL 연립방정식 풀기) & MATLAB
먼저 Matrix vector equation을 세워서 푸는 것이 얼마나 빠른지, 일반적인 법으로 먼저 풀어보겠습니다.
일반적인 방법으로 V1과 V2를 구하려면, 보통 KCL을 써서 2차연립방정식을 세워 풀어야합니다. 이 방법으로 한번 위 회로를 해석해 보겠습니다.
V1의 노드와 V2의 노드에 흘러나가는 전류의 합은 0이라는 KCL을 적용하여 방정식 2개를 세웠습니다. 이제 두 식을 연립해서 해를 구해보겠습니다.
위와 같은 결과를 얻었습니다.
너무나도 간단한 회로인데 정말 계산이 많고 귀찮습니다.
이제 본론으로 들어와서 빠르게 Matrix를 구해서 푸는 법을 알려드리겠습니다. 기본적으로 KCL에 대한 지식이 있어야 정확히 이해할 수 있는 방법입니다.
먼저 위 회로의 Matrix Vector equation을 세운 결과는 다음과 같습니다.
가장 맨 왼쪽의 Matrix는 저항(or 인피던스)이 들어있는 Matrix입니다.
그 왼쪽은 전압 값의 Matrix이고, 가장 오른쪽의 Matrix는 전류 값의 Matrix입니다.
Matrix를 만드는 법은 간단합니다. 먼저 저항값이 들어있는 Matrix를 구하는 법을 알려드리겠습니다.
Matrix의 대각성분 (n,n)에는 노드 n에 연결된 모든 저항의 역수[S] 값을 더해서 넣어줍니다.
Matrix의 비대각성분 (n,m)에는 노드 n과 m에 공통으로 연결되어있는 모든 저항의 합의 (-)를 붙여 넣어줍니다.
전류값이 들어있는 맨 우측의 Matrix를 구하는 법을 알려드리겠습니다.
각 노드에 연결되어있는 전압원의 합을 저장해 주면 됩니다. 단, 전압원이 노드로 들어오는 방향이라면 (+) 나가는 방향이라면 (-) 부호를 붙여주어야 합니다. 위의 예제 같은 경우에도 전압원이 흘러 나가는 방향이므로 모두 (-)를 붙여 주었습니다.
이렇게 Matrix Vector equation을 빠르게 세운 후 계산하면 더 편하게 계산이 됩니다.
만약 여기에 MATLAB이 더해진다면 정말 환상적인 결과가 나옵니다.
위처럼 Matrix를 만든 후, MATLAB으로 간단하게 계산해 보겠습니다.
다음엔 Mesh Analysis 에서 Matrix Vector equation을 세우는 법을 알아보겠습니다.
t0 일 때, Source side에 스위치가 위치 하고 있다가, t0 일 때 Ground side로 움직일 때의 RL에 걸리는 출력전압 V3를 구해보겠습니다.
먼저 인덕터에 흐르는 초기 전류를 구해보겠습니다.
t0일 때, 인덕터는 마치 short 되어 있습니다. 따라서 인턱터 L1에 흐르는 초기 전류는 4/14A이며, 인덕터 L2에 흐르는 초기 전류는 0A 입니다.
이제 Mutaual inductance M의 부호를 결정해 보겠습니다. dot convention에 의해 부호는 (-)입니다. 두 인덕터의 점이 서로 다른곳에 찍혀 있습니다. 따라서 M-1[H]입니다.
위 회로를 T형 등가회로, 파이형 등가회로 2가지 방법으로써 풀어보겠습니다.
T형 등가회로 풀이
회로를 Laplace transform으로 변환 후, T형 등가회로로 변형 한 회로 입니다. T형 등가회로는 보시다 싶이 Mesh Analysis를 하여 풀기에 적합합니다.
우리는 M은 (-)라고 설정 했습니다. 이제 위의 회로를 Mesh Analysis 해서, Matrix Vector equation을 세워보겠습니다. Vector matrix equation을 세운 다는 말은 KVL을 양 mesh에 진행 한 후, 전류에 관한 식으로 풀어서 matrix의 형태를 만든다는 말 입니다. 이것을 더 쉽게 하는 방법이 있는데 그 방법은 기초지식에 포스팅 하겠습니다.
위와 같이 먼저 형태를 정리 해 준 후, 값을 넣어 matrix를 구했습니다. 위의 계산을 직접하긴 매우 귀찮은 일입니다. MATLAB에게 시켜보겠습니다.
MATLAB code & result
위와 같은 결과를 얻었습니다. 구해진 i2의 값에 부하저항을 곱해주고, 전류의 방향이 기준방향에 반대이므로 (-)를 또 곱해 주어출력전압 V3의 값을 계산했습니다.아무래도 전압원이 DC이다 보니, 시간이 지날 수록 감소하는 형태의 결과를 얻었습니다. 한번 t0~20[s]까지의 출력전압의 그래프를 그려보겠습니다.
MATLAB code
MATLAB Graph
그래프로 그려본 결과 위처럼 잠깐 전압이 반짝하다가 다 사라져 버리는 형태의 그래프를 얻었습니다.
파이형 등가회로 풀이
회로를 Laplace transform으로 변환 후, 파이형 등가회로로 변형 한 회로 입니다. 파이형 등가회로는 보시다 싶이 Node Analysis를 하여 풀기에 적합합니다.
처음부터 우리는 M은 (-)라고 설정 했습니다. 이제 위의 회로를 Node Analysis 해서, Matrix Vector equation을 세워보겠습니다. Vector matrix equation을 세운 다는 말은 KCL을 모든 node에 진행 한 후, 전압에 관한 식으로 풀어서 matrix의 형태를 만든다는 말 입니다. 이 또한 더 쉽게 하는 방법이 있는데 그 방법은 기초지식에 포스팅 하겠습니다.
위와 같이 먼저 형태를 정리 해 준 후, 값을 넣어 matrix를 구했습니다. 위의 계산을 직접하긴 매우 귀찮은 일입니다. 이번에도 역시 MATLAB에게 시켜보겠습니다.
MATLAB code & result
결과는 위와 같이 나왔으며, 당연히 T형 등가회로와 파이형 등가회로의 결과는 같게 나오는 것을 확인 했습니다.
만약 이해가 잘 안되신다면, 파이형등가회로, T형등가회로 포스팅을 보시면 되고, 위 처럼 빠르게 Matrix로 Node Analysis와 Mesh Analysis를 하는 법은 기초지식에 포스팅 하도록 하겠습니다!
지수 모델은 가장 정확하게 순방향에서의 다이오드를 분석 할 수 있습니다.
그러나 비선형 특성이 심하므로 사용하기 어렵습니다.
회로를 하나 보면서 생각해 보겠습니다.
간단한 순방향 동작 회로
만약 VDD가 0.5V(컷인 전압) 보다 크다면, 전류는 Is보다 매우 큰 값을 가질 것입니다. 따라서 i-v 특성에 따라 다음과 같은 지수 관계식이 사용 가능합니다.
또한 위 회로에 KVL을 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
만약 parameter Is를 알고 있다고 가정 한다면, ID와 VD의 연립방정식으로 써 두 값을 구할 수 있습니다. 그러나 이러한 과정은 매우 번거로우므로, 도식적 해석법과, 반복 해석법을 이용하여 값을 구하는 것이 편합니다.
Graphical Analysis(도식적 해석)
도식적 해석은 위 에서 구한 두 식을 i-v 평면상의 그래프로 그림으로써 해석하는 법 입니다.
두 그래프의 교점의 좌표로써 두 값이 구해집니다. KVL로 구해진 관계식의 직선 그래프를 우리는 Load line(부하선) 이라고 부릅니다. 이 부하점과 지수곡선의 교차점을 Q point라 하며 이 점은 회로의 operating point(동작점)을 나타냅니다. 이 동작점의 좌표는 당연히 (ID,VD)로 주어질 것입니다.
도식적 해석은 회로의 동작을 가시적으로 보여준다는 점에서 많은 도움을 줍니다. 그러나 회로가 복잡하면 복잡할 수록, 이러한 해석은 매우 힘들어지므로 많이 사용되지 않습니다.
Iterative Analysis(반복 해석)
위 두 식을 간단하게 반복하여 푸는 것이 반복 해석입니다.
위의 회로를 다시 가져와 보겠습니다.
위 회로의 값이 다음과 같이 주어졌을 때의 다이오드의 전류와 전압 ID와 VD를 구해보겠습니다.
또한 다이오드는 0.7V의 전압에서 1mA의 전류를 흘린다고 가정하겠습니다.
반복을 하기전에는 우선 0.7V라고 VD를 가정 해야합니다. 이제 KVL을 적용한 식에 정해 놓은 값들을 대입하여 ID를 구해보겠습니다.
이제 다이오드의 전압 관계식을 한번 이용하여 계산해 보겠습니다.
2.3VT는 60mV 이며, V10.7V I11mA 그리고 I24.3mA를 대입하여 V2를 구해보겠습니다.
이제 위에서 구한 V2를 가지고 I2를 다시 한번 구하면 다음과 같습니다.
이 과정을 계속 반복하는 것이 바로 반복 해석입니다. 아무래도 반복해석 또한 시간이 좀 많이 걸릴 것 같습니다. 다음에는 더 빠르게 해석하는 법을 알아보겠습니다.
역바이어스 영역
다이오드에 걸리는 전압 v가 (-)일 때, 다이오드는 역바이어스 영역에서 동작합니다.
저번에 배웠던 위 식에서, v가 마이너스 이고 VT(25mV)보다 훨씬 더 크다면, 지수항은 1보다 매우 작아질 것이고 결국 다이오드의 전류의 크기는 Saturation Current 와 같아 질 것입니다.
위 식에서 보시다 싶이 역방향 전류는 거의 일정하며 Is크기가 같습니다. 따라서 우리는 Is를 포화전류(Saturation Current)라 부르는 것 입니다.
실제의 다이오드에서의 역방향 전류는 매우 작기는 하지만 Is보단 일반적으로 훨씬 큰 값을 가집니다.
역방향 전류도 역방향 전압이 증가함에 따라 약간씩 증가 합니다. 역방향 크기의 전류는 매우 작기 때문에 i-v 특성 그래프에서 자세하게 나타낼 수 조차 없습니다.
역방향 전류는 주로 leakage effect(누설 효과)에 기인하여 이 때 이것을 누설 전류라 합니다. 이 누설전류는 Is와 비슷한 특성을 가지는데, 접합 면적에 비례하며 온도에도 비례합니다. 하지만 Is보다 온도의 영향을 크게 받습니다.
항복 영역
마지막 다이오드의 동작 영역으로써, 역방향 전압 값이 어떠한 문턱을 넘어설 때, 다이오드는 항복 영역에 진입합니다. 이 문턱을 우리는 Break down voltage(항복 전압) 이라 합니다.
곡선이 마치 무릎 같다고도 해서 다음과 같은 표시를 사용합니다.
그래프에서도 볼 수 있듯이 항복 영역에서의 역방향 전류는 급격하게 증가 합니다. 따라서 전압 강하는 매우 작습니다. 다이오드에서 소모되는 전력이 외부 회로에 의해 제한 될 경우에는 파괴되지는 않겠지만 그렇지 않은 경우엔 파괴됩니다. 따라서 항복 영역에서의 역 방향 전류는 허용 전력 소모량에 의해 제한 되어야 합니다.
항복 영역의 i-v 특성이 거의 수직선 인 것을 볼 수 있는데, 이러한 특성을 Volatge regulation(전압 조정)에 이용할 수도 있을 것 입니다.
다오이드 단자에 걸리는 전압 v가 (+)라면, 다이오드는 순바이어스 영역, 즉 순방향에서 동작 합니다.
이 영역의 i-v 관계의 그래프는 위와 같으며 위 그래프를 근사하여 아래 식과 같이 표현 합니다.
이제 이 식들의 인자하나하나가 무엇인지에 대해 알아보겠습니다.
Is는 Saturation current(포화 전류) 혹은 scale current(스케일 전류) 라고 합니다.
Is는 다이오드의 physical parameters와 온도의 관련된 주어진 상수 입니다.
VT는 Thermal voltage(열전압)이라고 불리는 상수이며 다음과 같은 관계를 가집니다.
보통 실온에서의 VT의 값은 약 25mV 입니다.
만약 순방향 전류가 인지할 수 있을 정도로 흐른다면, 즉 i Is 이라면 식은 다음과 같이 근사됩니다.
위의 근사된 식 양변에 대수형태(ln)를 취해주고 v에 대해 정리 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
먄역 다이오드 전압 V1에 상응하는 전류I1과, 다이오드 전압 V2에 상응하는 전류 I2가 있다고 생각해봅시다. 그렇다면 그 두 관계식은 다음과 같이 나타내 집니다.
한번 위 두 식을 나누어 보겠습니다.
또한 위 식을 상용 대수로 표현하면 다음과 같습니다.
관계식들과 그래프를 보면 i-v의 관계는 지수적 관계를 가지므로, v가 장가하면 i는 급격한 증가를 보인다는 것을 알 수 있습니다. 그래프를 보시면 0.5V와 0.7V에 표시가 되어 있습니다. 0.5V를 cut-in voltage(컷인 전압)이라고 부릅니다. 0.6~0.8V는 다이오드가 완전히 ON되는데 필요한 전압강하입니다. 이러한 특성들은 지수적 관계의 특성에 의한 결과 라는 것을 알 수 있습니다.
우리는 ON 상태의 다이오드를 약 0.7V의 전압 강하를 갖는 모델로 모델링 할 수 있습니다.
서로 다른 정격 전류를 가지는(Is가 서로다른) 다이오드들은 서로다른 전류에서 0.7 전압강하의 나타낼 것입니다. 예를 들어 small signal diode는 1mA에서 0.7V의 전압 강하를 나타내며, Higher power diode는 1A에서 0.7V의 전압 강하를 나타낼 것입니다.
다음엔 역바이어스 영역과 항복 영역에 대해 알아보겠습니다.