wave impedance & impedance transformation(파동 임피던스 & 임피던스 변환)

wave impedance(파동 임피던스)란 전기회로에서의 전압과 전류의 비인 임피던스의 개념과 유사하게, 경계면과 평행한 임의의 평면에서  매질의 Total Electric field intensity(총 전기장 세기)와 Total Magnetic field intensity(총 자기장 세기)의 비 이며 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

만약 경계면 같은건 존재하지 않고 매질 하나만 존재한다면 투과파 하나만 존재하므로, 파동 임피던스는 고유 임피던스와 같을 것 입니다. 또한, 만약 -z방향(반대방향)으로 파가 진행한다면 고유 임피던스의 부호는 마이너스(-)일 것 입니다. 하지만 이러한 경우는 일반적이지 않으며 보통 두개 이상의 매질이 존재합니다. 따라서 조금 더 일반적인 임피던스 공식이 필요하며 공식을 유도해보겠습니다.

 

Impedance Equation을 유도하기 위해, 서로다른 특성을 가진 두 무손실(lossless) 매질이 z0을 경계면으로하고 +z방향으로 medium2로 수직 입사될 때, medium1의 총 전기장 세기와 총 자기장 세기를 써보면 다음과 같습니다.

 

이쯤 공부하고 계시면 위와 같은 식은 외울 정도가 되어야 합니다. 만약 위 식이 아직도 아리송 하시다면 입사파의 시작부분 부터 보심을 추천드립니다.

 

이제 medium1의 파동 임피던스를 표현 할 수 있으며 다음과 같습니다.

 

조금 더 식을 일반적으로 표현해주기 위해, z가 경계면의 왼쪽인 -L에 위치할 때의 파동 임피던스를 써보면 다음과 같습니다.

 

 

위와 같이 일반화된 공식이 유도가 가능합니다. 좌변의 Z괄호 안의 위치가 바로 내가 파동임피던스를 바라보고 싶은 위치이며, 우변의 cos과 sin term안의 L이 경계면과 바라보고 싶은 위치 사이의 거리입니다.

이제 두 매질의 고유 임피던스가 같다고 두어보고, 그 다음엔 매질2의 고유 임피던스가 PEC처럼 0이라두고 파동 임피던스를 구해보겠습니다.

 

만약 두 매질의 고유 임피던스가 같다면 두 매질은 같은 매질으로 볼 수 있고, 따라서 공간상엔 하나의 매질만이 존재하게 되므로 파동 임피던스는 고유 임피던스와 같게 됩니다. 만약 매질2가 PEC라면 위와 같은 파동임피던스가 구해집니다.

 

이제 Impedance Transformation(임피던스 변환)에 대해 알아보겠습니다.

 

유리의 놀라운 능력

기름으로 가득 찬 그릇에 또 다른 유리 그릇을 넣으면 어떻게 될까요? 그릇이 보이지 않게 되죠. 그 비밀은 빛에 있습니다. 기름을 지난 빛이 유리그릇을 그대로 통과하기 때문이죠.

 

위 동영상은 임피던스 변환과 큰 관련은 없지만, 컨셉을 잡는데는 도움을 줄 만 하고 재미도 있으니 보셔도 나쁘지 않을 것 같아 가져왔습니다.

 

매질의 특성이 다른 두 매질이 존재할 때(medium1,medium3), 한 매질에서 다른 매질로 파가 입사된다면 당연히 반사파가 생기게 됩니다. 그러나, 두 매질 사이에 또다른 매질을 넣어 준다면, 반사파가 생기지 않고 모든 파가 통과될 수 있으며 이러한 과정을 임피던스 변환이라고 합니다.

 

medium1와 medium3사이에 새로운 매질인 medium2를 넣고, z0에서 바라본 매질2의 파동임피던스는 이전에 z0을 축으로 z-L에서의 파동임피던스를 보았던 것 처럼, zd를 축으로 z0에서의 파동임피던스를 본다면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

따라서 이제 매질1에서 매질2로 파가 입사할 때, 고려해야하는 매질2의 임피던스는 Z2(0)로 변환이 되며, Reflection coefficient(반사 계수)를 구해보면 다음과 같습니다.

 

따라서 거리 d와 매질2의 고유 임피던스를 잘 조절하여 매질1의 고유 임피던스와 같게 만들면 반사계수는 0이되어 반사가 일어나지 않게 될 것 입니다.

 

그렇다면, 매질1과 매질2의 경계면에서 반사가 일어나지 않기 위한 d와 매질2의 고유 임피던스는 얼마인지 직접 구해보겠습니다.

반사가 일어나지 않는다는 것은, 반사계수가 0이라는 것 이며 관계식을 써보면 다음과 같습니다.

 

위와 같이 총 2가지 관계식이 나오게 됩니다.

만약 첫번째 관계식에서 매질3과 매질1의 고유임피던스가 같다면, 첫번째 관게식은 무조건 성립되므로 두번째 관계식만을 가지고 문제를 해결할 수 있습니다.

 

따라서 매질1과 매질3의 고유 임피던스가 같고, 매질2의 두께는 매질2의 반파장의 정수배인 조건을 만족하면, 매질1과 매질2의 경계면에서 반사가 안일어난다는 것을 확인 할 수 있었습니다. 또한 이러한 조건을 가지는 유전체를 half-wave dielectric window(반파 유전 창)이라고 합니다.

 

두번째 관계식에서, 매질2의 고유임피던스의 제곱이 매질1와 매질3의 고유임피던스의 곱과 같다면, 두번째 관계식은 무조건 성립되므로 첫번째 관계식만을 가지고 문제를 해결할 수 있습니다.

 

따라서, 매질2의 고유임피던스의 제곱이 매질1의 고유임피던스와 매질3의 고유임피던스의 곱과 같은, 즉 매질2의 고유임피던스가 매질1와 매질3의 고유임피던스의 기하평균이며, 매질2의 두께가 1/4파장의 홀수배라면, 매질1과 매질2의 경계면에서 반사가 안일어나는 것을 확인 할 수 있습니다. 또한 이러한 조건을 가지는 매질2를 quater-wave impedance transformer(1/4파장 임피던스 변환기)라고 합니다.

 

 

 

마지막으로 위와 같이 매질3이 PEC일 때, 매질1에서의 입사파와 반사파의 전기장, 매질1에서의 총 전기장, 매질2의 총 전기장, 매질1의 평균전력밀도, 매질2의 평균전력밀도를 각각 구한 뒤, 매질1과 매질2 경계에서 반사가 일어나지 않는 조건을 살펴보겠습니다.

 

먼저 매질1에서의 총 전기장과 총 자기장, 매질2에서의 총 전기장과 총 자기장을 구해보면 다음과 같습니다.

 

이제 z0, zd에서의 boundary condition을 세워보면 다음과 같습니다.

 

이제 z0, zd에서의 boundary condition을 이용하여 모든 진폭을 Ei0에 대해 정리해보겠습니다.

 

따라서, 반사파와 입사파의 진폭의 관계를 살펴보면, tan term이 0이되면 모든 파가 반사되므로, 매질2의 두께가, 매질2의 반파장이라면 모든 파는 위상차를 가지며 반사됩니다. 반대로 만약 매질2의 두께가, 매질2의 1/4파장이라면 tan pi/2는 무한대이므로 똑같이 모든 파가 반사되지만 이번에는 부호가 플러스 이므로, in phase, 같은 위상차를 가지고 반사됩니다. 햇갈리시면, 우변의 Ei0을 좌변으로 넘기고 좌변을 Reflection coefficient라고 생각하신다면 편합니다.

 

매질1의 반사파의 순시식과 매질1의 전체 전기장의 순시식을 구해보면 다음과 같습니다.

 

따라서, 매질1에서의 평균전력을 구해보면 순시식을 보았을 때 모든 성분이 다 traveling wave이므로 평균전력은 0 입니다.