LPF(Lowpass filter) HPF(Highpass filter) 설계실습

먼저 실습을 하기에 앞서, LPF와 HPF를 먼저 설계해야합니다.

가장 기본적으로 LPF와 HPF를 설계하는데 필요한 개념을 몇가지 정리 한후, LPF와 HPF순으로 실험을 시작하겠습니다.

 

첫번째, 커패시터는 고주파 신호를 잘 통과시켜 주며, 인덕터는 저주파 신호를 잘 통과시켜 줍니다.

두번째, 필터회로는 주파수응답을 가지고 분석하며 주로 주파수응답의 크기와 위상을 가지고 분석합니다. 주파수응답이란 출력페이저에 입력페이저를 나눈 형태입니다.

세번째, 주파수응답의 크기가 1/sqrt(2)가 되는 지점의 주파수를 cutoff frequency, 3dB frequency라 합니다.

네번째, 입력페이저와 출력페이저가 in phase(동상, 위상차 0)이 되는 주파수를 Resonance frequency(공진주파수) 라고 합니다. 이 개념은 여기에선 필요없고 BPF(bandpass filter), BSF(bandstop filter)에선 중요하므로 미리 알아두시면 좋아 포함시켰습니다.

 

그렇다면 위 개념들을 잘 가지고 cutoff frequency가 15.92kHz인 LPF를 설계해보겠습니다. 주어진 cutoff frequency는 소자의 값을 define할 때 사용하면 될 것이며 먼저 LPF를 설계하기 위해 어떠한 소자를 사용할 것 이며(인덕터 or 커패시터) 또한 어디를 출력으로 사용해야 할 지를 정해주어야합니다.

 

먼저 저항(R)과 인덕터(L)을 이용하여 LPF를 설계한다면, 직관적으로 생각해 보았을 때 인덕터는 저주파 신호를 잘 통과시켜주므로 저항을 출력으로 사용한다면 인덕터에서 빠져나온 저주파 신호를 사용할 수 있을 것 입니다. 따라서 이 경우의 회로도는 다음과 같습니다.

 

인덕터 L을 페이저 변환하면 jL이고, 따라서 저항 R의 전압은 voltage divider rule에 의해 간단히 구해지고 R을 출력으로써 주파수 응답과 주파수 응답의 크기를 구해보면 다음과 같습니다.

 

따라서 주파수응답의 크기를 살펴보면 분모에 (angular frequency)가 존재하므로 주파수가 증가함에 따라 크기는 감소하는 LPF임을 회로적으로 증명 할 수 있습니다. 또한 주파수가 R/L일 때의 주파수응답의 크기가 1/sqrt(2)가 됩니다. 따라서 cutoff frequency가 15.92kHz이므로 R/L215.92k의 식을 이용하여 소자의 값을 결정해 주면됩니다.

 

이번엔 커패시터(C)와 저항(R)을 이용하여 LPF를 설계하고 직접 실험까지 진행해보겠습니다.

커패시터는 고주파 신호를 잘 통과시켜주는 소자입니다. 따라서 저항을 출력단자로 사용하면 커패시터를 통과한 고주파 신호를 사용할 수 있으므로 HPF가 되겠지만 커패시터를 출력단자로 사용하면 커패시터를 통과한 고주파를 제외한 나머지 저주파 신호를 사용할 수 있어 LPF로 사용 할 수 있습니다. 회로도와 출력페이저, 주파수응답, 주파수응답의 크기를 구해보면 다음과 같습니다.

 

 

주파수응답의 크기의 분모에 주파수 term이 존재하여 주파수가 증가할 수록 크기는 작아지는 LPF임이 확인 됩니다. 이번엔 cutoff frequency가 15.92kHz임을 이용하여 소자(R,C)의 값을 정해보겠습니다. 가 1/RC일떄의 cutoff frequency가 15.92kHz이며, 2f라는 것을 이용하여 R과 C의 값을 구한 결과는 다음과 같습니다.

 

 

이제 위 값을가진 C를 출력으로 사용하는 RC회로를 구성하고, FG(function generator)를 사용하여 10kHz, 1V 정현파의 입력을 RC회로에 인가해 주겠습니다. FG의 setting은 다음과 같습니다.

 

FG의 내부 출력임피던스(50)를 고려하여 회로의 resistance 값인 1k보다 매우 작으므로 절반정도의 출력값만 설정해 주어도 2배의 값을 얻을 수 있어, 출력을 500mVpp로 설정했습니다.

 

scope로 입력과 출력(커패시터전압)을 측정한 회로도와 파형은 다음과 같습니다.(CH1 : 입력전압 , CH2: 커패시터 전압)

 

 

파형 측정 & Peak to Peak 전압 측정

파형측정 후, scope의 measure 기능을 사용하여 Peak to Peak voltage를 측정 한 결과 위와 같이 입력전압에 비해 약 200mV정도 낮은 값이 출력되었습니다. 이제 입출력의 위상차를 파악해 보겠습니다.

 

파형측정 & time delay 측정

오실로스코프에선 위상을 측정할 수는 없지만 time delay는 측정가능함으로 위상을 계산할 수 있습니다. measure 기능을 사용하여 time delay를 측정하였으며, 더 정확한 time delay를 측정하기 위해선 수평축의 단위를 더 작게 줄여야 합니다. 전압을 측정할때의 수평축은 50us였지만 현재 10us까지 줄인 것을 확인 하실 수 있습니다.

 

이제 측정된 값들을 바탕으로 이론적으로 구한값들과 비교를 해보겠습니다. 먼저 이론적으로 값을 구해보면 다음과 같습니다.

 

측정크기는 820mV로 계산되었으니, FG의 크기가 1V이므로 주파수응답의 크기또한 동일합니다. 따라서 위상만 계산해보면 다음과 같습니다.

 

따라서 측정값과 이론값을 비교해본 결과는 다음과 같습니다.

 

오차의 원인으론 커패시터와 저항의 오차, scope의 측정오차로 분석할 수 있습니다. 이제 특정주파수(10kHz)에서의 값을 분석해보았으니 한번 극단적으로 10Hz와 100kHz일때의 파형의 크기를 측정해보겠습니다.

 

10Hz

 

100kHz

10Hz일때는 크기와 위상이 거의 일치하며, 100kHz일 때는 크기가 확연히 줄어듬이 확인됩니다. 그렇다면 1kHz~100kHz의 값을 측정하여 MATLAB을 이용해 그래프를 그려보겠습니다. 또한 이론값의 그래프도 함께 그려 둘의 비교도 해보겠습니다. 직접 측정한 값을 넣은 code와 결과는 다음과 같습니다.

 

MATLAB code

 

(1) Linear-liner 그래프 (2) dB-log 그래프

첫번째는 일반적으로 그래프를 그린 결과이고, 두번째는 log scale로 그래프를 그린 결과 입니다. 두 그래프를 비교해보면, log scale로 그린 그래프가 cutoff frequency이후로 값이 급격하게 떨어지는 형태가 나와 더 정확하다고 판단할 수 있습니다. 또한 두 그래프 모두 주파수가 증가할 수 록 주파수응답의 크기가 줄어드는 형태를 얻어 결론적으로 LPF가 잘 설계되었음을 확인 할 수 있었습니다.

 

 

마지막으로 HPF를 간단히 하고 마치겠습니다.

위에서 LPF의 설계를 자세히 다루었으므로 LPF와 HPF의 설계와 분석과 측정은 위 과정과 매우 동일하므로 간단하게 하겠습니다. 인덕터와 저항을 이용하여 회로를 구성하고, 인덕터를 출력단으로 사용한다면 인덕터를 통과한 저주파 신호를 제외한 나머지 고주파 신호를 사용할 수 있어 HPF를 설계할 수 있습니다. 그러나 인덕터를 사용하실 때 주의할 점은 인덕터는 도선을 많이 감아놓은 형태로 제작되어 있어 도선의 저항을 무시할 수 없습니다. 따라서 인덕터의 내부저항을 꼭 측정하고 실험하는 것이 중요합니다.

실험에는 10mH(내부저항 28.3) 인덕터와 1k저항을 사용하였으며, FG로 10kHz, 1V 크기의 정현파를 가해주었습니다. 먼저 출력전압(인덕터전압)의 파형은 다음과 같습니다.(CH1 : 입력전압, CH2 : 출력전압)

 

파형 측정 & Peak to Peak 전압 측정

536mV의 출력전압이 측정되었으며, 입력전압의 크기는 1V이므로, 주파수응답의 크기또한 536mV로 일치할 것 입니다. time delay를 측정해보면 다음과 같습니다.

 

파형 측정 & time delay 측정

15us가 측정되어, 계산을 해보면 1518054로 계산되며 phase leading이므로 부호는 +입니다.

 

인덕터의 내부저항을 고려하여 이론값을 구해보면 다음과 같습니다.

 

주파수응답의 크기의 주파수 term을 주목해서 보면 분모와 분자에 둘다 존재 하지만, 분모와 분자의 차수가 같다면 분자의 영향력이 더 크므로 결국 주파수가 증가할 수록 크기가 증가하는 형태를 가지게 됩니다. 따라서 HPF가 설계됨을 수식적으로 증명이 됬습니다.

 

마지막으로 측정값과 이론값을 비교한 결과는 다음과 같습니다.

 

 

마지막으로 1kHz부터 100kHz까지의 값을 측정하여 MATLAB으로 코딩한 후, 그래프를 출력하는 과정은 생략하겠습니다. 포스팅내에 필요한 모든 과정이 들어가 있으니, 직접 1kHz부터 100kHz까지의 값을 측정 한 후, LPF에서의 MATLAB code에 값만 바꾸어 넣으시고 이론값 계산같은 경우엔 위에서 사용한 식을 넣어 그래프를 출력하고 두 그래프를 비교해 보신다면 주파수가 증가할 수록 크기가 증가하는 HPF 형태의 그래프를 얻을 수 있을 것 입니다. 직접해보신다면 더 실력향상과 통찰력을 기르는데 도움이 될 것이라 생각합니다. 마지막으로 제가 직접 측정한 이론값1(인덕터 내부저항 고려X), 이론값2(인덕터 내부저항 고려O), 측정값 의 dB-log 그래프는 다음과 같습니다.

 

dB-log 그래프

인덕터의 저항을 고려해준 그래프가 측정값 그래프와 조금 더 유사한 값을 가짐을 확인 할 수 있으며, 최종적으로 주파수가 증가함에 따라 주파수응답의 크기가 증가하는 형태의 결과를 얻을 수 있습니다.