Plane wave normal incident on the conductor boundary(도체 경계면에 평면파의 수직입사)

lossless media(무손실 매질, 0)에서 진행하는 uniform Plane wave(균일평면파)가 Perfect conductor(PEC, 완전도체, )로 수직 입사할 때 입사되는 균일평면파의 특성에 대해 알아보겠습니다.

 

전자기파가 어떠한 매질에서 진행하다가 다른 매질로 들어갈 때에는 당연히 전자기파의 변화가 있을 것 입니다. 두 매질은 서로 다른 특성(유전율, 투자율, 도전율)과 고유임피던스을 가질 것이기 때문입니다. 또한 다른 고유임피던스를 가지는 매질로 전자기파가 입사될 때에는 반사파가 발생하며, 이러한 현상을 분석하기 위해선  두 매질의 경계면에서 어떠한 현상이 일어나는지를 파악해야할 필요가 있습니다.

 

먼저 일반적인 두 유전체의 경계조건을 복습해 보자면 다음과 같습니다.

 

일반적인 경우 전기장 E의 접선성분은 연속입니다. 따라서 만약 medium2가 PEC라면, PEC내부의 전자기장 성분은 모두 0이므로 E2t는 0입니다. 이정도만 복습을 하고 계속 진행을 하겠습니다.

 

이제 본격적으로 분석을 시작해보겠습니다. 경계면이 z0이고, 무손실매질에서 PEC로 입사되는 +z방향으로 진행하는 전자기파의 전기장과 자기장의 세기의 phasor form은 다음과 같습니다.

 

무손실 매질에서 진행하는 전자기파이므로, 감쇄상수(attenuation constant)는 존재하지 않으며 고유 임피던스(intrinsic impedance)는 상수입니다.

 

이제 이 전자기파가 PEC의 경계면을 통해 들어오려고 하는 상황을 보겠습니다. 우리는 잘 알고있듯이 PEC내부의 E와 H는 모두 0입니다. 또한 PEC에서의 감쇄상수는 매우크며 따라서 skin depth(전자기파의 진폭이 36.8%까지 감소하는 거리)또한 매우 짧을 것입니다. 결론적으로 PEC경계에 수직으로 입사되는 전자기파는 PEC내부로 입사되지 못한다는 것을 알 수 있습니다. 따라서, 우리는 PEC내부로 입사되지 못한 전자기파들이 다시 반사된다는 것을 확인 할 수 있으며 skin depth가 매우 짧으므로 0이라 가정한다면 모든 전자기파들이 반사된다고 생각할 수 있습니다.

 

이제 반사되는 반사파를 생각해 보자면, PEC와 lossless media경계의 접선성분(tangential component)가 0임을 알고 있으므로 모두 수직방향 그대로 반사됨을 알 수 있습니다. 따라서 무손실매질에서 진행하고 있던 입사파에 반하는 반사파는 진행방향이 반대이고 skin depth를 0이라 가정하였으므로 진폭은 그대로 임을 알 수 있고 반사파는 진행방향이 반대이므로 z성분이 존재하는 exponential성분의 부호가 플러스가 될 것입니다. 이제 반사파의 전기장 E와 자기장 H를 구해보면 다음과 같습니다.

 

위 식에서 진폭의 아래첨자를 조금 바꿔 썼습니다 크기는 같지만 방향은 서로 반대방향이기 때문입니다. 또한 반사파의 진행방향은 -z방향이므로 자기장 H의 방향 또한 -y방향이 됩니다. 따라서, lossless media에 입사파와 반사파 모두가 서로 다른 진행방향과 같은 진폭을 가지고 존재하게 됩니다. 이제 lossless media에 존재하는 total wave를 정리해보겠습니다. 총 자기장의 세기와 전기장의 세기는 다음과 같습니다.

 

이제 위 phasor notation을 instantaneous expression(순시식)으로 변환해보겠습니다.

 

따라서 위 순시식을 통해 각각의 크기를 시간에 대해 한번 비교해보면, 전기장 E가 최대값을 가질 때, 자기장 0이며, 자기장 H가 최대값을 가질 때, 전기장 E는 0임을 확인할 수 있습니다. 따라서 대략적으로 써보면 전기장 E는 sin함수이므로 파장의 1/2지점에서 0이 되고 파장의 1/4,3/4지점에서 최대가 되며, 자기장 H는 cos함수이므로 경계면과 파장의 1/2지점에서 에서 최대값을 가지며, 파장의 1/4,3/4지점에서 0이 됩니다. 또한 이렇게 입사파와 반사파가 합쳐진 wave일 경우 전기장 E와 자기장 H가 각각 사인,코사인 함수가 되어 시간상으로 위상차가 90도 생김을 알 수 있고, 공간상으로는 파장의 1/4만큼 이동함을 알 수 있습니다. 따라서 이전 포스팅에서 다루었듯이 전력밀도의 평균전력의 cos가 0이되므로 이 경우 평균전력이 0임도 확인 할 수 있습니다. 

 

수식적으로 써보자면 다음과 같습니다.

 

 

아래의 움직이는 영상으로 보면 이러한 wave의 전기장 E & H의 입사파와 반사파의 합이 이해가 더 잘될 것 입니다.

 

위 영상을 보면 우리가 분석하였듯, 두개의 파(입사파 & 반사파)가 반대방향으로 진행하며(+z 에서 -z) 한 파가 최고점일 때, 한 파는 최저점(Ei0-Er0)입니다. 따라서 입사파와 반사파의 합은 마치 가만히 진행하지는 않고 정지하여 진동만 하는 것 처럼 보입니다. 이러한 파를 우리는 standing wave(정재파)라고 합니다.

 

전력밀도는 포인팅벡터로 정의됨을 확인했었으며 다음과 같은 식을 만족함을 알고 있습니다.

 

이제 전력밀도(포인팅벡터)의 instantaneous expression(순시식)과 average(평균)을 구해보겠습니다.

 

순시식을 구하기 위해선, phasor에 exponential(jt)을 곱해주고 실수부를 취해준다는 것을 잘 알고 있습니다. 손실매질에서, z방향으로 진행하는 uniform plane wave(균일 평면파)를 가지고 전력밀도의 순시식과 포인팅벡터를 구해보겠습니다. 먼저 E벡터와 H벡터의 순시식을 구하면 다음과 같습니다.

 

주의 해야할 포인트는, intrinsic impedance(고유임피던스)는 손실매질에서 복소량이므로 위상이 존재한다는 것 입니다. 따라서 손실매질에서의 E벡터와 H벡터 사이엔 위상차가 존재하게 됩니다.

따라서 이제 전력밀도의 순시식을 구해보면 다음과 같습니다.

 

이제 위 순시식으로 부터 평균값을 구해보겠습니다. 주기를 T라고 할 때, 0~T까지 순시식을 적분 후, T를 나누어 준다면 평균이 계산 될 것 입니다. 또한, 위 순시식의 두번째 항은 cos 함수이므로 평균은 0입니다. 따라서 평균값을 구해보면 다음과 같습니다.

 

위 식의 는 전기장 E와 자기장 H의 위상자 입니다. 따라서, 만약 둘의 위상차가 90도라면 평균전력은 0이 되어 power0일 것이며, 위상차가 없다면 최대의 전력이 전송된다는 것을 확인 할 수 있습니다.

 

위와 전력밀도의 순시식과 평균을 계산할 수 있지만, 더 일반적인 형태인 페이저 형태로 결과를 만들어 주기위해 Complex conjugate(공액복소수)를 이용해 순시식과 평균을 구해보겠습니다.

 

이용되는 테크닉

공액 복소수를 이용한다면 위와 같이 노란색으로 칠반 부분은 서로 같을 것 입니다. 따라서 먼저 순시전력을 계산해 보면 다음과 같습니다.

 

평균전력은 exponential(j2t) term의 평균은 0이므로 간단단하게 구해집니다.

 

위 식의 의미를 조금 파해쳐 보자면, 회로이론의 전력식과 매우 유사성을 가집니다.

 

따라서 위와 같은 관계를 통해 전기장 E는 전압과, 자기장 H는 전류와 관련되어 있음을 확인 할 수 있습니다.

 

 

먼저 컨셉을 잡아보겠습니다. 전자기파가 공간을 통해 수신점까지 전력을 운반 할 때, 공간에서 전자기파가 운반하는 전력의 특성을 파악하기 위해서 포인팅 벡터(Poynting vector)를 정의하며, 포인팅 벡터는 전력밀도(Power density), 면적 대비 전력량 입니다.

 

먼저 포인팅 벡터를 유도해보겠습니다. 유도에 사용되는 공식은 맥스웰 방정식(페러데이의 법칙, 암페어의 주회법칙)과 벡터항등식이며 수학적으로 chain rule이 사용됩니다.

 

위와 같이 유도가 되며 이제 마지막 결과 식의 의미를 한번 파악해보겠습니다.

초록색 term은 전기에너지이고, 파란색 term은 자기에너지입니다. 그 앞에 시간에 대한변화량과 마이너스가 곱해져 있으니 각각 전기에너지 감소율과 자기에너지 감소율이 됩니다. 회색 term은 저항성 전력으로 마이너스가 곱해져 있으니 전력 손실이 되겠습니다.

 

이제 대략적으로 결과식의 의미를 파악하였으니 divergence theorem을 사용해서 조금 더 깊게 파악해 보겠습니다.

 

우변은 체적 V내부에서 전자기에너지의 감소율에 열로 소비되는 저항성 전력을 빼준 값 입니다. 당연히 에너지 보존의 법칙을 만족해야 합니다. 따라서 그 체적 V를 떠나는 즉, 체적의 표면을 떠나는 전력과 같아야 합니다. 그 식이 바로 좌변식이며, 따라서 포인팅 벡터는 체적의 표면을 떠나는 전력이라는 결과를 얻을 수 있습니다.

 

이제 전자기파가 운반하는 전력의 방향을 한번 살펴보겠습니다.

 

포인팅 벡터의 정의는 위와 같으므로, E와 H벡터에 perpendicular한 방향 즉, direction of propagation(전파의방향)과 일치함을 알 수 있습니다.

 

이해를 조금만 더 돕기 위해, 포인팅 벡터의 결과식을 다시한번 가져와보겠습니다.

 

좌변이 체적의 표면을 떠나는 전력이며, 우변이 체적내에서의 전자기에너지의 감소량에 열로 인한 저항성 전력을 빼준 값 이라고 했습니다. 이번엔 양변에 마이너스를 한번 붙여서 다시 해석을 해보겠습니다.

 

이 경우엔 좌변은 체적의 표면을 통해 흘러 들어오는 전력일 것이며, 우변은 체적의 표면을 통해 들어오는 전력에 따른 전자기에너지의 증가량과 열로 인한 저항성 전력의 합일 것 입니다. 플러스와 마이너스에 따른 우변의 증가율과 감소율은 이해가 잘 될 수 있지만, 좌변의 플러스와 마이너스는 잘 이해가 되지 않을 수도있습니다. 체적 적분을 해주기 전, 좌변은 포인팅 벡터의 divergence였습니다. 기억을 되돌려 보면, divergence를 체적적분 하였을 때 양수라면, 내부에 source가 존재하여 flux가 안에서 밖으로 흘러 나가는 방향이였고 음수라면 내부에 sink가 존재하여 flux가 밖에서 안으로 흘러 들어오는 방향이였습니다. 따라서 위 경우도 마찬가지로 좌변이 플러스 일때는 표면 밖으로 빠져나가는 전력이며 마이너스 일대는 표면 안으로 들어오는 전력이 되는 것 입니다.

 

또한, 열로인한 저항성 손실은 conductivity가 0인 무손실 매질이라면 사라지므로 폐곡면을 통해 흘러 들어오는 전력은 전자기에너지의 증가율과 같을 것이며, 만약 정상상태에 도달한다면 에너지의 증감율은 없으므로 폐곡면을 통해 흘러들어오는 전력은 내부에서 소비되는 저항성 전력과 같아질 것 입니다.

 

따라서 결론은, 어떠한 폐곡면을 통과하며 흐르는 전력을 구하고 싶다면, E벡터와 H벡터의 curl을 표면적분 해주면 된다는 것 입니다.