앞서우리는 베르누이 시행에 대해 배웠었습니다. 베르누이 시행이란, 두가지 결과만 가지는 실험을 n번 반복하여 두가지 결과중 한 결과가 k번 나타날 확률을 구하는 것 이었습니다. 이항 분포는 이 베르누이 시행과 큰 연관성이 있습니다. 이항 분포란, 이러한 베르누이 시행을 통해 얻은 확률에 대한 이산확률분포입니다.
먼저 이항밀도함수(binomial density function)에 대해 알아보겠습니다. pdf(확률밀도함수)는 미소확률/미소구간 으로 정의했었습니다. 이항밀도함수(Binomial density function)는 이항분포의 확률밀도함수로써, 이산확률분포이기 때문에 각 구간의 특정한 값에 대한 확률의 분포로써 정의됩니다. 식으로 써보면 다음과 같습니다.
베르누이 시행의 식에 unit impulse function이 곱해져 있는 식이 급수형태로 표현이 되어 있습니다. 따라서 모든 구간에 대한 그래프를 그려보면 일반적으로 다음과 같은 형태가 그려집니다.
이항 밀도함수 그래프는 보통 평균을 중심으로 왼쪽면은 경사가 가파른 반면 오른쪽면은 경사가 완만해 지는 특징을 가집니다. 또한 이항밀도함수를 적분하면 이항분포함수(binomial distribution function)이 되며 식은 아래와 같습니다.
만약 n(시행횟수)가 매우 크다면 위의 이항분포를 이용하기가 힘듭니다. 가령 예를들어 1년동안 비행기사고가 일어날 확률에 대한 이항분포를 구하고 싶다면, n이 매우크므로 계산하기가 상당히 복잡해집니다. 따라서 이렇게 n이 매우 클 때 포아송(Poisson) 분포를 사용합니다.
포아송 분포는 시행횟수(n)이 무한대이며, 일어날 확률 p는 매우 작을 때에만 구할 수 있습니다. 포아송은 실제로 기병들이 말에서 떨어지는 확률분포에 대하여 연구하였는데, 시행횟수를 측정하기가 사실상 불가능 했기에 이러한 포아송 분포를 만들어 내었습니다. 포아송 분포에 대한 식을 유도하는 과정은 아래와 같습니다.
따라서 평균만 알고 있다면, 포아송 분포를 그릴 수 있습니다. 포아송 분포의 밀도함수와 분포함수는 다음과 같습니다.
포아송 분포는 이항분포와 같은 그래프의 형태를 가지고 있습니다. 또한 포아송 분포같은 경우엔 정말 랜덤한 현상인지 아닌지에 대하여 감지하는데 사용됩니다. 예를들어 랜덤한 현상 중 하나인 비행기 사고의 포아송 분포가 포아송 분포형태의 그래프를 가지지 않는다면 비행기 사고가 랜덤하지 않고 의도적으로 발생했다는 것을 말해줍니다. 또한 포아송 분포를 시간에 대해서 보면 event가 몰려서 나오게 되는 특징이 있습니다. 그 이유는 랜덤한 사건을은 몰려서 일어나기 때문입니다. 이것은 실제로 수학적으로도 증명이 되었다고 합니다. 따라서 안좋고 힘든일이 연달아 일어나더라도 힘내서 견디다 보면 좋은날이 올 것 입니다. 만약 안좋은 일이 한달간격으로 주기적으로 나타난다면 그 안좋은 일은 랜덤한 사건이 아닌 의도적일 가능성이 크므로 반드시 의심해봐야 합니다.
슈뢰딩거의 파동방정식은 주어진 potential energy에 따라 식이 풀리기도하고 풀리지 않기도 합니다. 하지만 전위우물 문제에선 슈뢰딩거의 파동방정식을 풀 수 있습니다. 전위우물 문제란, 경계점의 potential energy는 무한대이지만 내부의 potential energy는 0인 V(x)에 입자가 내부에 들어가 있는 문제입니다.
이제 슈뢰딩거 방정식을 가져와서 먼저 0xL 일 때, V(x)0이므로 이 조건을 이용하여 위 방정식을 풀어보겠습니다.
위 식을 보면 2번 미분해서 자기 자신이 나오는 해를 가져야 하는 형태입니다. 따라서 해는 sin함수 or cos함수 일 것 입니다. 해를 직접 계산해보면 아래와 같습니다.
이제 경계조건을 살펴서 해를 결정해야 합니다. 경계에서는 potential energy V(x)가 무한대 이니, 경계에서 위 파동함수의 값이 0이나오도록 하는 해를 가져야 합니다. 위 해의 형태에서 sin은 x0일 때 0이되지만 cos같은 경우에는 0이 되지 않습니다. 따라서 위 식의 해는 AsinKx입니다. 그렇다면 xL에서 0을 마저 맞추어 줘야 합니다.
따라서 우리는 K에 관한 두가지 관계식을 가지게 되었고 그 두 관계식을 연립하여 풀면 에너지에 관한 양자화된 식을 유도해 낼 수 있습니다.
에너지는 위와 같이 양자화, 즉 continuous한 기존 고전물리의 에너지 값이 아닌 정수배 만큼의 에너지 값만을 가지게 됩니다. 이때의 정수 n을 quantum number(양자수)라고 합니다.
이제 슈뢰딩거의 3번째 가정을 이용하여 파동함수의 계수를 구하여 파동함수를 완벽하게 풀어낼 수 있습니다.
최종 결과
따라서 최종 결과를 보면, quantum number에 따라 에너지와 파동함수 모두 변화하게 됩니다. n1,2,3일 때의 에너지와 의미있는 물리량인 파동함수의 절대값 제곱값 P(x) (pdf, probability density function)을 그려보면 다음과 같습니다.
위 그림의 의미는, 무한대로 깊은 우물에 전자를 떨어트리면 에너지가 바닥부터 시작하는게 아닌 E1부터 시작하며 E1 다음 에너지는 E2이고 그 사이 에너지로는 갈 수 없다는 것 입니다. 위 pdf의 그래프를 통해 만약 quantum number가 3라면 전자가 x0,L/3,2L/3,L 인 곳에 있을 확률은 0이라는 것을 알 수 있습니다. 반대로 quantum number가 1이라면 xL/2에 전자가 있을 확률이 가장 높다는 것도 알 수 있습니다.
위와 같은 전위우물 문제를 약간 변형하면 정말 이상한 현상이 나타나는데 그러한 현상을 Tunneling(터널링) 이라고 합니다. 전위우물문제에선 xL일때 무한대의 potential energy를 가지므로 경계조건에 의해 xL일때 파동함수를 0으로 설정하였습니다. 그러나 만약 xL에서 유한한 potential energy를 가지며, xL에서만 아닌 일정한 두께 W의 구간동안 이 유한한 값이 존재하게 된다면 어떻게 될까요?
단순히 전위우물 문제에서 우물의 오른쪽 벽의 길이가 유한해지고 두께가 생겼다고 보면 됩니다. 이렇게 문제가 변하면 파동함수는 xL에서 0이라는 경계조건을 사용하지 않고, 파동함수와 그 기울기가 경계에서 연속이라는 조건을 이용해야 합니다. 왜냐하면 슈뢰딩거의 가정1번을 보면 파동함수는 연속적이고 유한한 단일 값이라 가정하였기 때문입니다. 따라서 조건을 써보면 다음과 같습니다.
위와 같은 조건을 슈뢰딩거의 가정1번에 의해 반드시 만족해야 하는데, 위 조건을 만족해버리면 L+W의 경계 밖에도 입자가 존재할 확률이 생겨버립니다. 이러한 현상을 바로 터널링 이라고 합니다. 마치 엄청 높은 벽에 공을 던지며 놀다가 공이 벽 뒤로 사라져버린것과 같습니다. 만약 벽의 두께가 두껍다면 L+W의 경계에 도달하는 동안 파동함수가 충분히 감소하여 터널링이 일어날 가능성이 줄어들며 반대로 벽의 두께가 얇다면 터널링이 일어날 가능성이 커집니다. 이러한 현상은 불확정성의 원리로도 설명됩니다. 만약 벽이 줄어들면 position의 uncertainty는 줄어들게 되고, 입자의 위치에 대한 불확정성이 줄어드는 만큼 momentum(운동량)의 불확정성은 늘어나 벽의 외부로 나가버릴 수도 있는 것 입니다. 실제 빛에서도 이러한 터널링 현상이 관측되는데, 반사용 프리즘 두개를 가까이 붙여 놓고 빛을 쏘면 빛이 첫번째 프리즘에서 전반사 되지 않고 아래 프리즘으로 흘러나와버립니다. 빛이 굴절되는 현상은 빛의 파동성에 의한 현상인데, 양자역학적인 터널링 현상이 일어나는 것을 보면 빛은 역시 파동성과 입자성 모두 가지고 있다는 것을 알 수 있습니다.