TEM waves propagating along parallel plate transmission lines(평행판 전송선을 따라 전파되는 TEM 파)[

먼저 전송선로 이론에 대해 간략하게 짚고 넘어가겠습니다.

전송선 이론을 배우는 가장 큰 이유는 주파수를 가진 신호를 온전히 잘 보내주고 싶기 때문입니다. 우리는 고유 임피던스가 다르다면, 반사가 일어나는 것을 잘 알고 있습니다. 또한 똑같은 wave이지만 보는 위치에 따라서 파동 임피던스가 달라짐을 확인했습니다. 임피던스가 다르다는 것은 반사가 일어난다는 것이고, 반사가 일어나면 파를 온전히 보낼 수 없습니다. 낮은 주파수면, wave length가 매우 깁니다. 따라서 전자기기가 wave length에 비해 작다면 크게 상관이 없지만, 고주파에선 wave length가 매우 짧으므로 기기의 어느 곳을 보느냐에 따라 임피던스가 다 달라집니다. 따라서 주파수를 가진 신호를 잘 보내주기 위해전송선을 따라 파를 가이드해 주어야 하는 것 입니다. 그림으로 간단하게 보면 다음과 같습니다.

 

 

따라서 고주파 회로를 설계하는 것은 상당히 어려우며, 도선의 길이, 두께, 폭 등등 여러 특성을 잘 생각해 주어야 합니다. 

 

Transmission Lines theory(전송선 이론)의 첫번째 시작으로, 평행판 전송선을 따라 전파되는 TEM wave에 대해 알아보겠습니다.

 

먼저, TEM wave란 propagation direction(전파 방향), E field의 형성방향, H field의 형성방향이 모두 perpendicular(수직)한 wave를 말합니다. 이 전에 plane wave에 대해서 배울 땐, 가이드 되지 않은 wave의 전파에 대해 배웠지만, 이제 특정한 공간을 따라 wave를 전파시키고 이것을 회로적 관점과 연관시켜 분석을 해 나갈 것 입니다.

 

이제 우리가 신호를 보내줄 전송선인 평행판 전송선에 대해 알아보겠습니다. 전송선엔 일반적으로 3가지 형태의 전송선 구조가 있는데, 그 중에 하나가 평행판 전송선입니다. 평행판 전송선은 가장 중요한 전송선이며 나머지 전송선들은 직접 잘 설계할 일이없지만 평행판 전송선은 설계를 직접해주어야 합니다. 왜냐하면 평행판 전송선이 바로 우리가 많이 들어본 PCB(printed circuit board)이기 때문입니다. 나머지 전송선들은 PCB에 직접연결하여 사용할 뿐 설계할 필요가 크게 없지만, PCB 같은 경우엔 두께, 길이, 폭 등등 여러가지를 따져 주어야합니다. PCB는 2개의 conductor 평행판 사이에 dielectric이 들어가 있으며 PCB의 양단에 전압을 걸어주고 사이의 dielectric으로 주파수를 가진 신호가 전송됩니다.

 

 

 

coordinate 추가설명 : 안으로 들어가는 방향이 +x, 밖으로 나오는 방향이 -x

이제 본격적으로 평행판 전송선에서 진행하는 TEM wave를 살펴보겠습니다. 위와 같이 거리가 거리가 d만큼 떨어진 conductor사이에, lossless dielectric(무손실 유전체)가 끼워 져 있는 평행판 전송선에서, +z방향으로 전파하는 y방향으로 편파된 TEM wave가 전파되는 상황을 분석해보겠습니다.

먼저 wave의 E field와 H field의 phasor식은 우리가 잘 알고 있는 것 처럼 다음과 같습니다.

 

경계조건을 살펴보면, PEC(완전도체)와 dielectric의 경계조건은 PEC는 E와 H field의 값이 모두 0이므로 continuous한 component인 E field의 tangential component, H field의 normal component는 다음과 같습니다.

 

우리가 세운 위상자식에서, E는 y방향으로 편파되어 있고, H도 -x방향으로 편파되어 있습니다.  따라서 경계조건과 위상자 식의 결과가 일치함을 확인할 수 있습니다. 만약 경계조건이 일치하지 않고 모순이 생겼다면, TEM wave를 위와 같은 구조에서 전파할 수 없습니다.

 

이제 나머지 discontinuous한 E field의 normal component와 H field의 tangential component를 아래쪽판과, 위쪽판으로 나누어 살펴보겠습니다.

 

아래와 위의 도체표면의 표면전하밀도와 표면전류밀도는 위와 같은 크기와 방향을 가진다는 확인하였으며, E field, H field, surface current density(표면전류밀도)의 방향을 개략적으로 표시해보면 다음과 같습니다.

 

E field의 방향선의 길이는 E field의 크기의 변화를 표현하기 위해 다르게 나타내었습니다. 위와 같이 개략적으로 field와 전류가 형성됨을 확인 할 수 있습니다.

 

TEM wave의 E와 H는 당연히 맥스웰 방정식을 만족합니다. 따라서 맥스웰 방정식을 써서 식을 전개해보면 다음과 같습니다.

 

이제 위의 첫번째 결과식인 E field의 z방향 변화량에 대한 식을 wave가 propagate(전파) 되고 있는 두개의 평행판 사이의 거리인 d만큼 적분을 해보겠습니다.

 

위 식에서 V(z)는 upper plate과 lower plate사이의 전위차이며, I(z)는 위쪽판의 표면전류밀도와 연관이 되어 있으므로 위쪽 판에서 +z방향으로 흐르는  총 전류입니다. 가장 중요한 부분은 인덕턴스를 위와 같이 정의 한 부분인데, 평행판 전송선의 단위길이 m당 인덕턴스로 나타납니다. 햇갈리시면 안될 부분은, 위 인덕턴스는 단위길이당 인덕턴스라는 것 입니다.

또한 위 식은 회로이론에서 배운 vLdi/dt 와 같습니다, j가 시간에 대한 1차 미분을 나타내기 떄문입니다. 따라서 전자기학과 회로이론은 연관되어 있다는 것을 느낄수가 있습니다.

 

비슷한 방법으로 이번엔 lossless dielectric의 폭(width)으로 H field의 z방향 변화량에 대한 식을 적분해 보겠습니다.

 

역시 회로이론의 iCdv/dt 와 같은 형태의 결과식을 얻었으며, 이번에는 단위 길이 m당 커패시턴스를 위와 같이 정의 할 수 있습니다.

 

위에서 구한 두개의 식을 각각 미분하고 정리하면, 동차 헬름홀츠 방정식과 같은 형태로 구성이 됩니다.  동차 헬름홀츠 방정식의 해와 유사한 방식으로 풀어보면 다음과 같습니다.

 

위와 같이, wave에서의 phase contant인 와 매우 유사한 형태로 투자율 이 L로, 유전율 이 C인 형태의 해를 구할 수 있었습니다. 위의 전압과 전류의 비를 특성임피던스(characteristic impedance)라고 하며, 정리해보면 다음과 같습니다.

 

특성임피던스는 wave의 고유임피던스와 같다고 생각하시면 됩니다. 특성임피던스란 임의의 위치에서 바라본 임피던스 이지만, 무한히 길고 반사가 존재하지 않는 전송선이기 때문에, 마치 반사가 존재하지 않는 영역에서의 wave의 wave impedance가 intrinsic impedance와 같아지는 것과 같은 것이기 때문입니다. 다른점이 있다면, 유전체의 폭인 w에 반비례하고, 유전체의 두께인 d에는 비례한다는 차이가 있습니다.

 

마지막으로 전파속도를 위에서 구한 phase constant를 이용해 구해보면 다음과 같습니다.

 

역시나 TEM wave의 phase velocity와 같다는 것을 확인 할 수 있었습니다.