이번엔 서로 다른 매질특성(고유임피던스)을 가지는 총 3개의 무손실 유전체에 수직으로 입사하는 평면파에 대해 알아보겠습니다.
전체적으로 흐름을 먼저 타보겠습니다. 매질1에서 매질2로 입사파가 수직 입사함에 따라, 매질1에 반사파, 매질2에 투과파가 생기고, 매질2에서 매질3로 투과파가 수직 입사함에 따라 매질2에 반사파, 매질3에 투과파가 생깁니다.
이론적으로 보자면, 매질2에서 매질3로 투과파가 수직 입사함에 따라 매질2에 생기는 반사파는 또한번 매질1에 수직입사파여 투과와 반사될 것이고, 이 과정이 반복되어 매질2에는 매질1와 3의 사이를 왔다갔다하는 파가 생길 것 이지만, 위 그림에 보이는 5개의 파만 분석을 해보겠습니다.
5개의 파의 방향은 모두 파악이 가능하나, 진폭은 입사파의 진폭하나 빼고 나머지 4개 파의 진폭은 미지수 입니다. 따라서, 3개의 매질이 모두 무손실(lossless)라는 조건을 이용해 Boundary condition을 사용하여 미지수를 풀어주어야 합니다. Boundary condition을 세워보면 다음과 같습니다.
이제 위 4개의 경계조건 식을 이용하여 파들을 구할 수 있습니다.
이제 직접 구해보겠습니다. 위에선 3개의 매질의 특성이 모두 달라 매우 복잡함으로, 매질1과 매질3는 진공이라 가정하고 문제를 풀어보겠습니다. 그림은 다음과 같습니다.
먼저 각각의 Medium에서의 전기장과 자기장의 총 합을 정의해보면 다음과 같습니다.
경계면 z0, zd에서 총 4개의 접선방향(x방향) Boundary condition을 써보면 다음과 같습니다.
B.C
이제 위 Boundary condition을 이용하여 먼저, medium2에 존재하는 입사파(2+)와 반사파(2-) 진폭을 Ei로써 정리해보겠습니다.
굉장히 복잡한 과정을 거쳐 위와 같이 정리를 할 수 있습니다. 이제 나머지 두 식인 medium1의 반사파(r0)와 medium3의 진행파(E30)을 구해보겠습니다.
첫 단추를 꿰는 것은 쉽지 않지만, 첫 단추를 잘 꿰고 나니 나머지 것들은 위와같이 쉽게 구해집니다.
이제 마지막으로, 경계면 z0(medium1-medium2)에서, medium2의 폭인 d가 medium2에 존재하는 wave의 wave length의 1/2배일 때, 1/4배 일때 각각 반사가 일어나는지 안일어나는지를 알아보겠습니다. 지금 하는 것은 다음에 배울 impedance transformation(임피던스 변환)과도 관련이 있습니다.
medium2의 폭인 d가 medium2에 존재하는 wave의 wave length의 1/2배 라면, medium2의 매질의 특성과는 상관없이 모든 파가 투과되는 신기한 결과를 얻을 수 있었으며, medium2의 폭인 d가 medium2에 존재하는 wave의 wave length의 1/4배 라면, medium1과 medium2이 같이 매질이여야지만 모든 파가 투과된다는 결과를 얻을 수 있었습니다.
여태까지 PEC(Perfect conductor)에 입사된 파가 모두 반사파로 되돌아오는 상황을 배웠습니다.
이제, 서로다른 매질인, Lossless medium1에서 Lossless medium2로 파가 입사되는 상황을 분석해보겠습니다.
이전에 배운 것을 살짝 환기시켜보면, PEC로 파가 입사되면 PEC안에선 감쇄상수 가 매우 크므로, 1/인 skin depth가 매우 짧아 파가 진행하지 않는다고 가정하여 모든 파가 반사되어 나온다고 했었습니다. 이번엔 PEC가 아닌 Lossless medium이므로, 감쇄는 당연히 없을 것이며 모든 파가 반사되어 나오지도 않을 것 입니다. medium1에서 medium2로 입사 될 때, 두 매질은 서로 다른 permittivity(유전율), permeability(투자율)을 가지고 있다면 두 매질의 intrinsic impedance(고유임피던스)는 squareroot(투자율/유전율)이므로 다를 것 입니다. 따라서 고유 임피던스가 다른 매질로 파가 입사될 때엔 파의 일부는 반사되고 일부만 전달되게 됩니다. 잘 생각해 보면, 임피던스 매칭이 바로 모든 파를전송시켜 주기 위해임피던스를 같게 해주는 것 입니다.
이제 본격적으로 입사파, 반사파, 전송파를 분석해보겠습니다. z0이 경계면이며 입사파가 +z방향으로 진행한다고 했을 때, 입사파(incident wave)의 Electric field intensity(전기장 세기) E와 Magnetic field intensity(자기장세기) H의 phasor 식을 써보면 다음과 같습니다.
이제 반사파의 E와 H의 페이저 식을 써보겠습니다. 반사파의 진행방향은 -z방향 일 것 입니다. 또한 반사파도 입사파와 함께 medium 1에 존재합니다.
이번엔 전송파의 E와 H의 페이저 식을 써보겠습니다. 전송파는 입사파와 같은 진행방향인 +z방향으로 진행하지만 매질의 특성이 달라지므로 고유임피던스, 위상상수는 달라질 것 입니다. 또한 전송파는 medium 2에 존재합니다.
이제 입사파, 반사파, 전송파의 관계를 살펴보아야합니다. wave가 다른 평면으로 입사될 때의 가장 중요한 분석 point는 바로 boundary condition(경계조건)입니다. 현재 두 매질은 모두 lossless이므로 이때의 boundary condition은 매우 간단합니다. tangential component(접선성분), normal component(수직성분) 모두 continuous(연속)합니다. 복습할 겸, 일반적인 경계조건인 두 매질이 모두 dielectric일 때와 두 매질이 모두 lossless medium일 때를 비교해서 써보면 다음과 같습니다.
boundary condition(경계조건)
노란색은 continuous(연속)를 뜻하며 초록색은 discontinuous(불연속)을 뜻합니다. 두 매질이 모두 lossless 라면 source free이므로 표면전류밀도, 표면전하밀도는 존재하지 않기 때문에 모든 경우에 연속이 됩니다.
따라서 medium 1에 존재하는 입사파, 반사파의 E,H와 medium 2에 존재하는 전송파의 E와 H는 경계면(z0)에서 연속해야합니다. 따라서 다음과 같은 관계식을 세워 정리해보면 다음과 같습니다.
접선방향의 boundary condition을 이용하여, 얼마나 투과되고 반사되는지를 나타내어 주는 투과계수와 반사계수를 위와 같이 유도할 수 있었습니다. 반사계수와 투과계수는 그 값이 클수록 당연히 투과나 반사가 잘 일어날 것 입니다.
투과계수와 반사계수의 관계를 살펴보면 다음과 같습니다.
반사계수를 조금 더 자세히 살펴보겠습니다. PEC(perfect conductor)에서 우린 모든 입사파가 반사된다고 했었습니다. 또한 PEC의 intrinsic impedance는 0입니다. 따라서 medium 1이 lossless, medium 2가 PEC일 때의 반사계수를 써보면 다음과 같습니다.
따라서 PEC를 만나 모든 파가 반사될 때의 반사계수는 -1임을 확인 할 수 있습니다. 마이너스의 의미를 살펴보자면, 반사계수는 Er0와 Ei0의 비 이므로 모든 파가 반사될 때엔 둘의 크기는 같으며 부호는 반대 입니다. 부호가 반대라는 것은 두 파의 위상차가 존재한다는 것 이므로 마이너스의 의미는 phase difference(위상차, out of phase)라고 볼 수 있습니다. 회로적 관점으로 해석해 보면, PEC의 임피던스가 0이라는 것은 마치 short되어있는 것과 같으며 따라서 ground되어있는 것으로도 볼 수 있겠습니다.
그렇다면, 만약 medium2의 고유 임피던스가 무한대라면 어떻게 될까요. 반사계수는 1이 될 것이며 부호가 마이너스가 아니므로 in phase(동위상)일 것 입니다. 고유 임피던스가 무한대라는 것을 회로적 관점으로 본다면, 전류가 wire을 통해 흐르다가 wire가 끊켜진 단면(medium 2)를 만났을 때, medium 2의 임피던스를 무한대로 볼 수 있으며 따라서 open되어 있다고 볼 수 있습니다.
이제 늘 하던데로, medium1에 있는 입사파와 반사파의 합을 가지고 분석해보겠습니다. 예전에 PEC를 만나 모두 반사되던 수직 입사파와 반사파의 합은 standing wave였습니다. 이번엔 어떤 결과가 나올지 입사파와 반사파의 관계인 반사계수를 사용하여 분석을 해보겠습니다.
분석결과, 입사파와 반사파의 합은 노란색 term인 traveling wave와 초록색 term인 standing wave의 합으로 나타났습니다. 진폭은 각각 1+, 2 입니다.
이제 이 medium 1에서 입사파와 반사파의 합인 total wave의 크기를 분석해보겠습니다.
크기가 최대와 최소가 되는 지점은 cos함수안의 term에 따라 결정될 것 이며, 앞에 붙은 반사계수가 양수인지 음수인지에 따라도 달라질 것입니다. 그러나 투과계수가 양수일 때의 최대값은 음수일 때의 최소값이므로 투과계수가 양수일 때의 최대와 최소가 되는 z를 구해보면 다음과 같습니다. 햇갈리지 말아야 할 것은, 현재 medium 1에 있는 입사파와 반사파의 합을 분석함으로 z는 무조건 음수입니다(z0).
또한 전기장 세기의 최대값과 최소값의 비를 Standing-wave ratio(정재파비) S라고 하며 식으로 써보면 다음과 같습니다.
정재파비 또한 얼마나 반사되느냐를 보여주는 척도입니다. 만약 모든 wave가 반사된다면 입사파와 반사파의 합은 standing wave 일 것이며, standing wave의 크기는 0~amplitude 이므로 S의 분모는 0이되어 무한대가 되어버립니다. 또는 반사되지 않고 모든파가 전송된다면 최소값과 최대값의 비는 1이 될 것 이므로 S는 1입니다. 따라서 S의 범위는 1부터 무한대로 쓸 수 있습니다. S는 보통 데시벨로 나타내며, 앞에 20을 곱해줍니다.
Magnetic field intensity H의 경우, E와 비교하였을 때, E가 최대가 되는 점이 H가 최소가 되는 점 일 것입니다. 따라서 그 둘은 역의 관계를 가집니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
반사계수의 부호가 마이너스 이므로 Out of phase 입니다. 따라서 반사계수의 부호가 플러스인 E와는 역의 관계를 가짐을 알 수 있습니다.