Absolute errors(절대오차) & Relative errors(상대오차)

전자기장의 경계조건은 여태 우리가 배웠던 경계조건과 모두 일치합니다.

왜냐하면, 경계조건의 적분경로에 의해 정해지는 면적은 0에 가깝게 아주 작은 값으로 설정 되므로 새로이 추가된 성분들이 0이 되어 버립니다. 따라서 정리를 해보면 다음과 같습니다.

 

1) The tangential component of an Electric field intensity E is continuous across an interface

전기장의 세기 E의 경계면의 접선방향 성분은 경계면에서 연속입니다.

 

2) The tangential component of a Magnetic flux intensity H is discontinuous across an interface where a surface current exists.

표면전류가 존재하는 경우, 자기장의 세기 H의 경계면의 접성방향 성문은 경계면에서 불연속입니다. 불연속의 크기는 Surface current density(표면 전류밀도) 입니다.

 

3) The normal component of a Electric flux density D is discontinuous across an interface where a surface charge exists.

표면전하가 존재하는 경우, 전속밀도 D의 경계면과 수직인 법선 방향 성분은 경계면에서 불연속입니다. 불연속의 크기는 Surface charge density(표면 전하밀도)입니다.

 

4) The normal component of a Magnetic flux density B is continuous across an interface

자속밀도 B의 경계면과 수직인 법선 방향 성분은 경계면에서 연속입니다.

 

 

이제 Lossless(무손실)의 두 linear(선형)한 매질이 경계를 이루고 있는 경우를 살펴보겠습니다.

무손실 선형 매질의 경우엔 3가지 조건을 만족하는데

첫째, 유전율이 0이며, 투자율이 0이고, 전도도가 0 입니다. 따라서 free charge가 없으며 Surface current도 없습니다.

전도도가 0이므로 당연히 electron들이 움직이지 않아 전류가 흐를수 없고, 따라서 손실이 존재할 수 조차 없습니다. 에지를 잃을래야 잃을 수 없기 때문에 Lossless라 합니다.

따라서 이 경우에는 모든 interface에서 모든 경우가 continuous 합니다.

 

이번에는 Lossless(무손실) dielectric(유전체)와 perfect conductor(완전도체)가 경계를 이루고 있는 경우를 보겠습니다. 그전에 먼저 완전도체에 대해 살펴보겠습니다. 완전도체는 전도율이 매우 큰 재료입니다. 전도율이 거의 무한대에 가까운 재료는 초전도체(super conductor)라고 합니다. 초전도체는 상온에서 동작하기가 매우 힘드므로, 우리는 우수한 도체의 경계조건을 다룰 경우엔 초전도체 말고 주로 완전도체라 보고 해석을 해야 합니다. 완전도체의 내부의 전기장은 0입니다. 만약 0이 아니라면 거의 무한대에 가까운 전류밀도가 형성됩니다. JE이기 때문입니다. 또한 도체의 전하는 모두 표면에만 분포하게 됩니다. 맥스웰 방정식을 살펴보면, 시간에 따라 변하는 전자기장에서 도체 내부의 E, D가 0이므로 B H도 마찬가지로 0 입니다. 하지만 도체에 일정한 전류가 흐를 때의 정자기장은 전기장에 영향을 미치지 않습니다. 변화율이 0이기 때문입니다. 따라서 B와 H가 0이 아닐수도 있긴합니다. 

 

이제 본격적으로 무손실 유전체와 완전도체가 이루는 경계면에 대해 살펴보겠습니다.

완전도체의 매질에서는 E D H B 모두 0입니다. 하지만 유전체의 매질은 다릅니다. 유전체의 경계면면에선 우리가 알고있는 것과 같습니다. E의 tangential 성분과 B의 normal 성분은 continuous 합니다. 따라서 경계면의 완전도체의 E와 B는 0이므로 따라서 0입니다.

H의 tangential 성분과 D의 normal 성분은 discontinuous 합니다. 경계면의 완전도체의 H와 D는 0이므로, 불연속의 크기는 각각 표전전류밀도와, 표면전하밀도가 됩니다.

 

경계에서 전기장과 자기장 벡터의 상호관계를 아는 것은 매우 중합니다. 경계조건을 분석 하는것은 문제를 해석하는데 있어서 가장 기본적이고 중요하기 때문입니다.

 

간단하게 정리하자면, 정가지장과 정전기장의 경계조건은 시간이 변하는 전자기장에서도 그대로 일치하하며, 무손실 매질 두개가 경계를 이룰 때는 모든 경계조건이 continuous 합니다. 완전도체 내부의 B H D E는 0입니다. 따라서 dielectric 과 완전도체의 경계조건은 모두 dielectric이 가진 field 값에 의존됩니다.

 

우리는 Vector magnetic potential A을 다음과 같이 알고 있으며, 페러데이의 법칙 또한 알고 있습니다.

 

이제 미분형 페레디어의 법칙의 B를 A의 형태로 한번 바꿔 넣고 정리해  보겠습니다.

 

curl free 이므로, 우리는 이 안의 term을 gradient of scalar로 나타낼 수 있습니다. 따라서 스칼라 전위 V를 가져와 관계식을 써보면 다음과 같습니다.

 

만약 시간이 불변인 정전기장이라면 A term은 0이되어 우리가 알고 있는 식이 됩니다.

위 식의 의미는 시간에 따라 변하는 전자기장에서의 E는 V와 A에 모두 관련되어 있다는 것 입니다.

즉, Electric field intensity E는 전하의 축적과 시간에 따라 변하는 자기장에 의해 생선 된다는 것을 뜻합니다.

또한 A는 B에 의존하는 vector이므로 E와 B는 상호 연관성을 가지고 있다는 중요한 의미도 가집니다.

우리는 V와 A를 다음과 같은 공식으로써 구할 수 있었습니다.

 

전위는 전하밀도로 부터 구하며, 벡터 자기장 포텐셜은 전류밀도로 부터 구해집니다. 또한 위 식들은 모두 포아송 방정식으로부터 얻은 결과들 입니다. 그리고 위의 두 식은 정전기장과 정자기장의 결과 입니다.

따라서 위 식을 시간이 변하는 영역에선 사용할 순 없습니다.

그러나, quasi-static filed 즉 마치 정지되어 있는것 처럼 보이는 장(유사-정전자기장), 변화율이 아주 느린 낮은주파수 영역이며 저항의 길이가 파장에 비해 짧은 경우에는 위 식을 사용할 수도 있습니다.

하지만 이것은 가정이며, 이런 해석 방법은 전자기학 이론을 회로이론으로 해석할 수 있게 해줍니다. 이부분은 나중에 다루도록하며, 이제 우리는 다른 식을 고려해 보아야 합니다.

 

다음과 같은 우리가 이미 다 알고있는 식 5개를 재료삼아 새로운 식을 유도해 보겠습니다.

 

우리는 1,2,3,4 번식을 5번식에 넣고 정리하여 새로운 식을 유도할 것입니다.

 

1) 먼저 4번식을 이용하여 5번식의 H를 B term으로 바꾸어 주겠습니다.

 

2) 이제 3번식을 이용하여 D를 E term으로 바꾸어 주겠습니다.

 

3) 이제 2번식을 이용하여 E를 두 포텐셜 함수의 형태로 바꾸어 주겠습니다.

 

4) 이제 1번식을 이용하여 B를 A term으로 바꾸어 주겠습니다.

 

 

이제 벡터 항등식을 이용하여 정리해 보겠습니다.

 

정리된 식의 부분 중 A의 발산에 대한 부분이 있습니다. 우리는 A의 divergence는 0이라 배웠고 따라서 A의 divergence와 관련된 항을 0이라 두겠습니다.

 

우리는 위의 관계를 Lorentz condition(로렌츠 조건) 혹은 Lorentz gauge(로렌츠 게이지)라고 부릅니다. 우리가 이렇게 별거 아닌 것 처럼 보이는 조건에 이름까지 붙여준다는 것은 그만큼 의미가 있는 조건이라 할 수 있습니다. 이 얘기는 잠시 미루어 두고, 이제 로렌츠 조건에 의해 나머지 식은 다음과 같이 A의 형태로써 정리가 됩니다.

 

위 식을 우리는 nonhomogeneous wave equation for vector potential A(벡터 자기장 포텐셜 A에 대한 불균일 파동 방정식)이라고 합니다. 이것을 파동방정식이라 부르는 이유는 나중에 다루어 보도록하고, 일단 우리는 벡터 자기장 포텐셜 A의 식을 파동방정식으로써 유도를 했습니다.

 

이제 Scalar potential V의 파동방정식을 구해보겠습니다.

이미 우리가 다알고있는 다음 두가지식과 또하나, 로렌츠조건이 필요합니다.

 

 

1) 2번식을 이용하여 1번식의 E를 포텐셜함수의 형태로 변형시켜 주겠습니다.

 

2) 위 에서 구한 식을 3번식에 대입해주겠습니다.

 

이제 로렌츠 조건을 이용하겠습니다.

 

위와 같이 A의 divergence로 정리 한 후 위 식의 결과에 넣어주겠습니다.

 

위의 결과가 바로 nonhomogeneous wave equation for scalar potential V(스칼라 전위 V에 대한 불균일 파동 방정식)입니다.

 

로렌츠 조건 덕분에 V와 A의 파동방정식을 독립적으로 분리할 수 있었습니다. 따라서 로렌츠 조건은 매우 중요한 조건임을 확인 하였습니다.

 

우리가 구한 V와 A의 파동방정식을 자세히 보면 포아송 방정식과 매우 흡사합니다.

만약 시간에 따라 변화하는 영역이 없다면, 두 식모두 포아송 방정식과 똑같은 형태가 될 것입니다.

따라서 우리가 지금 구한 파동방정식은 단순히 포아송 방정식이 시간에 따라 변화하는 영역의 형태로 바뀌었다고도 생각해 볼 수 있습니다.