Solution of wave equations for Potential & Retarded scalar potential(포텐셜에 대한 파동방정식의 해 & 지연된 스칼라 전위)

Voltage Regulation이란 일정한 전압을 유지 시켜주는 것을 말합니다.

Volatge Regulation(전압 조정)을 위해 다이오드를 사용하는 회로를 한번 분석해 보겠습니다.

 

Voltage Regulation circuit

먼저 전압원은 9~11 V 사이에서 변동될 것입니다. 또한 위 회로를 보시면 다이오드 3개가 직렬연결 되어 있습니다. 보통 다이오드가 ON되어 있으면 0.7V이므로, 3개가 직렬이니 총 2.1V의 일정한 전압을 유지 시켜줍니다. 따라서 위 회로는 일정한 2.1V의 전압을 부하에 공급해 주는것이 목적인 회로 입니다. 이제 위 회로가 얼마나 잘 동작하는지 한번 분석해 보겠습니다.

부하저항이 달라져도 일정한 전압을 유지하는지, 혹은 전압이 변동하여도 일정한 전압을 유지 하는지를 알아보겠습니다.

 

우리는 위 회로를 PWL 모델로 분석해 보겠습니다.

 

 

Voltage Regulation circuit of PWL Model

PWL 방식으로 모델링을 한 결과 위 회로와 같습니다. ideal diode는 어차피 순방향 전류가 흐를 것 이라 생각하고 분석 할 것이므로 생략했습니다.

이제 위 회로를 가지고 해석해 보겠습니다.

 

먼저 다이오드에 흐르는 동작점의 전류를 구해보겠습니다. 부하가 연결되어 있지 않다고 보았을 때, 다이오드에 흐르는 동작점의 는 Rs에 흐느는 전류일 것이며, 동작점의 전류 이므로, 교류전압 vs는 0으로 두고 해석을 하겠습니다. 따라서 다음과 같이 구할 수 있습니다. 또한 rd는 매우 작다고 보고 Rs오른쪽 노드의 전압을 2.1V(0.7+0.7+0.7)로 설정하겠습니다. 구한 식은 다음과 같습니다.

 

이제 동작점의 전류를 구했으니, dynamic resistance의 값을 공식에 의해 계산한 식은 다음과 같습니다.

 

VT는 보통 실온에선 25V정도의 크기를 가지는 상수로써 본다고 예전에 배웠었습니다. 따라서 다음과 같이 값이 계산이 됩니다.

 

이제 부하저항이 1000일 떄와 200일 때의 출력전압 vo를 구하고 그 출력전압의 peak to peak change(변동폭)를 구해보겠습니다.

먼저 부하저항이 1000일 떄의 Node equation을 이용하여 출력전압을 구해보겠습니다. Node equation(KCL)을 하므로, 전압원을 전류원으로 바꿔줄 필요성이 있습니다. 따라서 Source transform을 통하여 회로를 변환하면 다음과 같은 회로가 됩니다.

 

Node analysis를 하기위한 PWL모델회로의 등가회로

전압원을 직렬합성하고, 직렬저항들을 직렬합성 한 후, 전압원과 직렬력연결된 저항을 전류원과 병렬연결된 저항으로 바꾸어 준 결과 입니다.

 

이제 Node equation을 세워보면 다음과 같습니다.

 

KCL을 하는 노드의 전압은 vo이며, 흘러들어오는 전류의 합은 흘러나가는 전류의 합과 같으므로 위와 같은 식이 세워집니다. 이제 식을 넣고 계산을 해보겠습니다.

 

계산결과는 위와 같습니다. 이제 peak to peak change를 구해보면 0.0097sint는 0.01sint로 볼 수 있으므로 다음과 같이 구해집니다.

 

sin t는 -1~1이므로 위와 같이 2를 곱해주면 vo의 peak to peak change 는 20mV의 결과가 나옵니다.

 

이제 위 값이 맞는지 확인을 해보겠습니다. 만약 diode current인 iD가 마이너스가 나온다면 위의 결과는 틀린결과 일 것입니다. 한번 iD를 구해보겠습니다.

 

위에서 KCL을 적용했던 바로 아래의 노드에 KCL을 적용한 결과, 위와 같이 구해 졌으며, vo(t)는 2.1V 이상이므로 따라서 iD는 0이상임이 확인 되었습니다.

만약, 어떤 시간의 경우라도 iD가 0보다 작게 온다면 마이너스가 되는 시간 동안에서는 iD를 0으로 설정해야합니다. 따라서 이 경우에는 다이오드 부분은 아예 회로에서 없다고 보고 출력전압을 구해야합니다.

이 경우의 식은 다음과 같습니다.

 

no diode branch

 

이제 부하저항이 200인 경우를 살펴보겠습니다.

위의 식에서 부하저항의 값만 200으로 바꾸어 계산한 결과는 다음과 같습니다.

 

이 경우엔 iD를 구해보면 0이하임이 확실합니다. 왜냐하면 2.08+0093sint-2.11은 무조건 0모다 작기 떄문입니다. 따라서 다이오드에 흐르는 전류인 iD를 0으로 설정한 후, 다이오드를 없다고 생각하고 출력전압의 peak to peak change를 Voltage divider로 구해보면 다음과 같습니다.

 

 

결론적으로 부하저항이 커질 수록 변동폭이 작아져 전압 조정기의 역할을 잘 하게되며, 부하저항이 낮아지면 변동폭이 커져 전압 조정기의 역할을 잘 못하게 된다는 것을 알 수 있었습니다.

실제로 부하 저항이 작아지면 부하쪽에 더 많은 전류가 흐르게되므로 부하저항의 소비하는 전력(부하)이 커집니다. 따라서 부하저항이 작아지면 부하가 커지므로 다이오드가 제대로 작동을 못한다고 볼 수 있겠습니다.

 

위 회로를 분석하는 또다른 방법은 small signal model을 이용하여 교류전원만 고려하여 등가회로를 구해 푸는 방법이 있습니다. 3개의 다이오드를 3rd(dynamic resistance)로 모델링하고 vs의 교류전압원만 남겨두어 풀면 위와 같은 peak to peak change를 간단하게 구할 수 있습니다.

 

 

Time harmonic의 뜻 부터 알고 넘어가는게 좋을 것 같습니다.

Time harmonic이란 간단하게 steady-state sinusoidal 이라고 생각하시면 됩니다.

 

우리는 phasor는 크기와 위상을 포함하고 있다고 알 고 있습니다. 또한 주파수가 일정하게 유지 될 때 쓰면 좋다고 알고 있습니다. 따라서 Time harmonic field에서는 정현파(sin wave) 형태의 전자기장 벡터들을 크기와 위상에 방향까지 추가된 vector phasor를 이용하여 나타낼 수 있습니다.

 

phasor는 기본적으로 미분되어 있으면 미분차수 만큼 j를 곱해주고, 적분되어 있으면 적분차수 만큼 1/j를 곱해주는 것을 알고 있습니다. 따라서 맥스웰 방정식들을 한번 변환해 보겠습니다.

 

포텐셜 불균일 파동 방정식도 한번 바꿔 보겠습니다.

 

위와 같이 변형되며, 이때 k는  wave number(파수) 또는 전파상수 라고 합니다.

위 두 식을 nonhomogeneous Hemlholtzs equation(비동차 헬름홀츠 방정식) 이라고 합니다.

 

이제 Lorentz condition(로렌츠 조건)도 한번 바꿔 보고, 지연된 스칼라 전위와 지연된 벡터 자기장 포텐셜도 한번 바꿔 보겠습니다. 

 

위 식에서 exponential 함수만 1로 된다면, 시간이 변하지 않는 영역에서의 식과 같아 집니다. 혹은 Quasi Static field(준정상상태)의 전자기장에서의 식과도 같다 할 수 있습니다. 어떠한 경우에 exponential 함수가 1로 될지 찾아보겠습니다.

 

먼저 테일러 급수로 전개해 보겠습니다.

 

아까 우리는 k를 위에서 다음과 같이 정의했었습니다.

 

2f 와, (wave length,파장의길이)u/f 를 위 식에 넣고 정리해주면 다음과 같은 식이 나옵니다.

 

위의 Taylor 급수 terms를 보면, kR 만 어떻게 0으로 간다면 좋을 것 같습니다. 따라서 위 식에 R을 곱해보겠습니다.

 

만약 거리 R이 파장에 비해 매우 작다면, kR은 0에 근사하게 되고 따라서, exponential term은 1로 근사화 됩니다. 

결론적으로 거리 R이 파장의 길이 보다 매우 작다면, 준정상상태와 정상상태의 전자기장에서 사용하던 식을 사용할 수 있게 됩니다. 만약 그렇지 않다면, 기존의 식들을 phasor로 변환하여 풀어야 합니다.

 따라서, 만약 전자기장을 형성하는 전하와 전류가 시간에 대한 정현파 형태를 가지는 경우, 전기장과 자기장을 구하는 방법은 다음과 같습니다.

 

1. Find phasors V(R) & A(R)

 

위 식을 가지고 전위와 벡터자기장포텐셜의 phasor를 구합니다.

 

2. Find phasors E(R) , B(R)

 

1번에서 구한 포텐셜을 위 식에 대입하여 phasor E와 phasor B를 구합니다.

 

3. 이제 역 페이저를 해서 E와 B를 구하면 됩니다.

 

Source가 없는 Source free region에서의  electromagnetic wave(전자기파)의 특성은 매우 중요합니다. 전자기파는 Source가 없다면 발생할 수 없습니다. 따라서 이 뜻은, 전자기파가 어떻게 발생하는지 도 중요하지만 어떻게 propagation(전파) 되는가도 중요하다는 뜻 입니다. 이미 발생해서 전파되고 있는 전파가 Source가 없는 영역에서 어떠한 특성을 가지는지를 알아보도록 합시다.

 

만약 wave(전파)가 simple nonconducting medium(단순 비전도성 매질, 유전장수,투자율,전도도0 - linear,isotropic,homogeneous)에 존재 하는 경우엔, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 변화 됩니다.

 

위와 같이 변화되면 우리는 항상 새로운 관계식을 찾고는 합니다.

Source-free region이니, 아마 Linear한 homogeneous equation을 찾을 수 있을 것 같은 예감이 듭니다. 한번 찾아보겠습니다.

 

(1)번식에 curl을 한번 취해보겠습니다.

 

좌항을 백터항등식으로 정리하고, 우항에 (2)번 식을 대입하여 정리해보겠습니다.

 

 

이제 H에 대한 꼴도 한번 만들어 주고 싶습니다.

이번엔 (2)번 식에 curl을 취해보겠습니다.

 

위와 같이, 좌항을 벡터항등식으로 정리하고 우항에 (1)번 식을 대입하여 정리해보겠습니다.

 

위에서 구한 두 결과는 다음과 같습니다.

 

우리는 위 식을 homogeneous vector wave equation(동차 벡터 파동 방정식)이라고 부릅니다.

 

우리는 위와 같은 불균일 파동방정식을 배웠습니다.

 

이제 두 파동방정식의 해를 한번 구해보겠습니다.

 

 

 

먼저 스칼라 전위 V에 대한 파동방정식의 해를 구해보겠습니다.

 

임의의 시점에 원점에 미소 점전하가 존재한다고 할 때, 구좌표계를 사용하여 homogeneous equation(동차 방정식)을 세워보면 다음과 같습니다. homogeneous equation이므로 우항은 0이 됩니다.

 

 

구좌표계에서 점전하를 감싸는 구를 잡으면, spherical symmetry으로 인해 V는 오직 R과 t에만 관련이 있게 됩니다. 따라서 다음과 같이 정리됩니다.

 

 

이제 편의를 위해 다음과 같은 새로운 변수를 대입하겠습니다.

 

 

이제 위 변수를 대입하면 다음과 같이 변환됩니다.

 

 

 

 

 

위에 대한 2차 미분 가능한 함수는 모두 위 식의 해가 됩니다. 또한 오른쪽항의 함수는 유효한 해가 될 수 없습니다. 그것은 조금 후에 알게 됩니다. 따라서 변환된 식의 해는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

이떄의 u를 위와 같이 정의하며, 전파속도라고 합니다.

 

이제 다시 V에 대해 돌려 보면 다음과 같습니다.

 

 

따라서, 체적 V에 charge distribution(전하 분포)로 인한 스칼라 전위는 다음과 같습니다.

 

 

위 식이 가지는 의미는 다음과 같습니다.

 

시간이 t인 시점에 전하로 부터 거리 R인 지점의 스칼라 전위는 (t-R/u)였을 때의 전하밀도에 따라 달라짐을 뜻합니다. 즉 쉽게 말하면, 거리가 R만큼 떨어진 지점에서 의 영향을 느끼려면 R/u의 시간이 걸린다는 것 입니다. 따라서 위 식을 Retarded scalar potential(지연된 스칼라 전위)라고 합니다.

 

따라서 위의 t+R/u은 유효하지 않다는것을 물리적으로도 확인이 가능합니다. 미래의 시간의 전하밀도에 영향을 받을 순 없기 때문입니다.

 

 

 

백터 자기장 포텐셜 A도 위와 같이 동일한 과정으로 구하면 다음과 같습니다.

 

 

 

 

위의 결과로 인해 포텐셜 뿐만 아니라, 전기장과 자기장도 당연히 (t-R/u)의 함수 이며 위와 같이 시간지연 효과를 가지고 있습니다.   전자기파가 전파되어 되어 시간에 따라 변하는 전류와 전하가 멀리 떨어진 지점에 영향을 미치는데 까지 시간이 걸린다는 것을 알 수 있습니다. Quasi-static-field(준정적장)에서는 이 효과를 무시할 수 도 있습니다. 따라서 회로이론에서는 이러한 것을 무시한 채 회로를 해석합니다.

 

 

 

조금 더 이해를 돕기위해 자세히 들여다 보겠습니다. 우리는 u를 다음과 같이 정의했었습니다.

 

 

그리고 거리가 R만큼 떨어진 지점에서 전하밀도의 영향을 느낄 때 까지 R/u의 시간이 걸린다고 알 고 있습니다.

 

따라서 이 전파속도가 매우 빠르고 거리인 R이 매우 짧다면, R/u는 0에 가까워지고 지연시간은 거의 없습니다. 전파가 매우 빠른시간안에 원하는 지점에 도달한다는 말 입니다. 이러한 것들이 응용되는 예중에 하나가 바로 무선전력송신기술 입니다. 현재에는 딱 붙어있을 정도, R이 매우매우 작을 때에만 이용이 가능합니다. 또한 전파가 이동하는 거리 R 사이에 어떠한 매질이 있느냐 에 따라서 속도가 달라질 것이며 따라서 지연되는 시간 또한 달라질 것입니다.