K-map(karnaugh map / 카노 맵)

우리는 Source free region에서 동차 벡터 파동 방정식을 얻었습니다.

Source free region이니, 전하밀도 0 전류밀도 J0일 것이고, 단순, 비전도성 매질 이므로 전도도 0 일 것입니다.

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Source-free wave equations & homogeneous vector wave equation(소스가 없는 공간에서의 파동방정식 & 동차 벡터

 

Source-free wave equations & homogeneous vector wave equation(소스가 없는 공간에서의 파동방정식 & 동차 벡터 파동 방정식)

Source가 없는 Source free region에서의 electromagnetic wave(전자기파)의 특성은 매우 중요합니다. 전...

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우리는 이제 Time harmonic field에 있으므로, 예전에 구했던 식들을 모두 페이저 변환을 통하여 바꾸어 써보면 다음과 같습니다.

 

동차 벡터 파동 방정식도 한번 바꾸어 보겠습니다.

 

위의 수정된 식을 우리는 homogeneous vector Helmholtzs equations(동차 벡터 헬름홀츠 방정식) 이라고 합니다.

 

위에서 구한 동차 벡터 헬름홀츠 방정식을 이용하여 맥스웰 방정식이 자유공간에서 대칭성을 갖는 것을 확인해 보겠습니다. 대칭성을 갖는다는 것은 duality 관계를 가진다는 것 인데, 이것은 이중성 원리(principle of duality) 라고도 합니다. 간단히 말해서 하나의 명제가 성립을 하면 그 명제를 선형변환한 다른 명제도 성립함을 말합니다.

 

위와 같이 E와 H를 선형 변환 했습니다. 위에서 (에타)는 intrinsic impedance(고유 임피던스) 라고 하며, 매질의 물질적 특성에만 의존하는 임피던스입니다. 위 처럼 E와 H를 선형변환 하여도, 맥스웰 방정식은 duality 관계를 가지므로 성립을 해야합니다. 한번 확인해 보겠습니다.

 

맥스웰 방정식이 성립합니다. 따라서 맥스웰 방정식은 duality 관계를 가진다는 것을 확인 할 수 있었습니다.

 

 

K-map은 Boolean function을 simplify 하는 기법 중 하나입니다.

 

K-map을 만드는 원리는 간단합니다. map의 원소는 바로 minterms 입니다. 원소인 minterm이 자기 주변의 인접한 곳의 다른 minterm과단 한 자리만 변하도록 map을 만든 것 입니다.

예를들어, xy 주변에는 xy, xy 이렇게 2개가 인접해 있어야 할 것 입니다. xy 는 두자리가 변화하므로 인접할 수 없습니다. 따라서 이러게 인접할 때 한자리씩 바뀌도록 하려면 gray code를 활용하면 되겠습니다.

이제 K-map은 대충 어떻게 만들어진다는 것을 알았으니, 만들어진 것들을 보시면 바로 이해가 될 것  입니다. 2개부터 4개까지의 Variable을 가진 K-Map을 쭉 보겠습니다.

 

Two-Variable K-Map & Three-Variable K-Map

 

Four-Variable K-Map

보시다 싶이 영역이 겹치지 않게 여러 literal 별로 나뉘고, 또한 숫자는 gray code 형식으로 한 비트씩만 변합니다.

 

K-map을 만드는 법과 어떻게 만들어 지는지를 알았으니, 이제 위 K-map을 활용하는 법을 순서를 붙여 알려드리겠습니다.

 

1) Boolean function을 Sum of minterms 로 변환한다.

2) K-map에 minterm이 존재하면 1, 존재하지 않으면 0으로 채운다.

3) 1만을 원소로 가진 직사각형을 만들어 준다.(원소의 갯수는 2의n승개, 여러개 가능, 최대한 크게, 1짜리도 가능, 0포함 X, 겹치기 가능, 맨 우측열이면 맨 좌측열과 연결가능 그 반대도 가능, 맨 위의 열이면 맨 아래 열과 연결가능 그 반대도 가능)

4) K-map를 보고 각 직사각형의 원소를 모두 만족하는 function을 구해준다.

 

예제를 풀면 이해가 더 잘 될 것입니다. hard하게 Four-variable만 2개정도 해보겠습니다.

 

(1)

 

위 함수는 이미 Sum of minterms로 변환되어 있습니다.

이 함수를 K-map에 그려보면 다음과 같습니다.

 

(1) K-map

이제 K-map을 그렸으니 가장 큰 직사각형을 찾아보겠습니다. 직사각형 원소의 갯수는 2의 n승개만 포함가능하므로, Four-variable에선 1개,2개,4개,8개,16개 까지 포함 가능합니다.

따라서 가운데의 4개짜리 정사각형과, 꼭지점 성분끼리의 4개짜리 정사각형으로 모든 1을 포함가능합니다.

 

자, 이제 사각형의 원소를 만족하는 function을 찾아봅시다. 그전에 우리는 몇개의 literal을 가진 function이 나올지 다음과 같이 예상이 가능합니다.

 

Four variable일 경우엔, 직사각형의 원소가 2의0승인 1개면 4개의 literal을 가진 function이 나오며, 직사각형의 원소가 2의1승인 2개면 3개의 literal, 직사각형의 원소가 2의2승개인 4개면 2개의 literal, 직사각형의 원소가 2의3승개인 8개면 1개의 literal, 직사각형의 원소가 2의4승개인 16개면 1이 나옵니다.

Three variable일 경우엔, 직사각형의 원소가 2의0승인 1개면 3개의 literal, 2의1승인 2개면 2개의 literal, 2의2승인 4개면 1개의 literal, 2의 3승인 8개면 1이 나옵니다.

Two variable일 경우엔, 직사각형의 원소가 2의0승인 1개면 2개의 literal, 2의1승인 2개면 1개의 literal, 2의2승인 4개면 1이 나옵니다.

 

위의 경우는 Four variable이고 2의2승개인 4개의 원소를 가지므로 2개의 literal이 나올 것입니다.

이제 한번 구해보겠습니다.

 

K-map을 확인한 결과 두 직사각형은 각각 xz , xz 포함하고 있습니다. 따라서 결국 정답은 다음과 같습니다.

 

(2)

 

이제 위 함수를 simplify 해봅시다.

K-map을 그리고, 직사각형으로 묶어준 결과는 다음과 같습니다.

 

2의3승개의 원소를 가진 사각형은 1개의 literal로 표현이 될 것이며, 2의1승개의 원소를 가진 사각형은 3개의 literal로 표현이 될 것입니다. 이제 k-map을 확인해보겠습니다.

 

K-map을 확인한 결과 두 직사각형은 각각 z , wxy를 포함하고 있습니다. 따라서 결국 정답은 다음과 같습니다.

 

3,2 variable은 위의 예제보다 훨씬 더 쉬우므로 위의 예제가 이해가 잘 되신다면 더 간단하게 구할 수 있을 것 입니다.

 

이렇게 최대한 크게 묶는것을 Prime implicants 라고 하며, 만약 최대한 크게 묶은 결과 묶은 것 끼리 서로 겹치는 부분이 없는 곳이 하나라도 있다면 이것을 Essential prime implicants라고 합니다.

따라서 K-map으로 simplify할 때, 최대한 많이 Prime implicants를 하시고 Essential prime implicants를 먼저 찾아서 결정하시고 또 위 과정을 반복하므로써 프로세스를 진행해야합니다.