Magnetization(자화) & Magnetization current density(자화전류밀도)

10진수의 significand의 크기가 5로 주어졌다고 합시다.

그렇다면, 10진수 1.456789는 1.4568이 됩니다.

이렇게 짤린쪽에서 반올림이되어 1이 증가하게 되는 것을 Round up이라 합니다.

만약, 10진수 1.4123456이 있었다면 이것은 1.4123이 됩니다.

이렇게 1이 증가하지 않고 짤리는 것을 Round down이라 합니다.

 

2진수도 마찬가지입니다. significand의 비트가 5비트로 주어졌다고 합시다.

그렇다면, 2진수 1.001011은 1.0011이 되며, 반올림이 되어 1이 증가하게 됩니다. 이경우를 마찬가지고 Round up이라 합니다.

만약 2진수 1.0010000이 있었다면 Round down되어 1.0010이 될 것 입니다.

 

이제 Chopping에 대해 알아보겠습니다. Chopping은 말그대로 짤려나가버리는 것입니다.

 

위의 계산을 한번 살펴보겠습니다. 우리는 2bit의 significand만을 가지고 계산할 수 있는 컴퓨터로 이 계산을 풀어보겠습니다.

Left to Right으로 왼쪽부터 오른쪽으로 계산을 해보겠습니다.

먼저 4+2를 계산 해보겠습니다.

 

이제 그 다음 값인 1을 더해보겠습니다.

 

위와 같이 2비트가 초과되어버립니다. 따라서, 1이후의 모든 값은 chopping되고 결국 위의 연산의 결과는 6입니다.

 

이제 Right to Left로 계산을 해보겠습니다.

먼저 1/8 + 1/8을 해보겠습니다.

 

이제 1/4를 더해보겠습니다.

 

이제 1/2를 더해보겠습니다.

 

이제 1을 더해보겠습니다.

 

이제 2를 더해보겠습니다.

 

이제 마지막으로 4를 더해보겠습니다.

 

따라서 8이라는 옳은 결과를 얻을 수 있었습니다.

Right to Left로 계산을 해야 제대로된 결과를 얻을 수 있다는 것을 확인 할 수 있었습니다

 

Decimal floating-point numbers

10진수의 부동소수점의 기본 구조는 다음과 같습니다.

 

는 부호를 표시해 주는 sign bit라 생각하시면 됩니다. +1 or -1의 값을 가집니다.

x바는 significand(가수) 입니다. 크기는 1이상 10미만의 정수입니다.

e는 exponent(지수)이며, decimal의 위치를 표시해주는 integer(정수) 입니다.

40/3을 한번 부동소수점으로 표현해 보겠습니다.

 

위와 같이 표현 할 수 있습니다.

 

Binary floating-point numbers

2진수의 부동소수점의 기본 구조는 다음과 같습니다.

 

는 마찬가지로 부호를 표시해 주는 부호비트입니다.

x바는 significand(가수) 입니다. 크기는 무조건 1을 가집니다.

e는 마찬가지로 exponent 입니다. 정수값을 가집니다.

0.1이라는 10진수를 2진수 부동소수점으로 표현해 보겠습니다.

 

위와 같이 표현 할 수 있습니다.

 

위 식을 한번 minimize 하여 보겠습니다.

 

위와 같이, z와 wz를 묶어주면, 다음과 같이 식이 나옵니다. 조금더 진행해 보겠습니다.

 

위와 같이 Complement형을 정리 한 후, z+z1이라는 것을 이용하여 위와 같이 정리를 해줍니다.

 

위와 같이 다시한번 풀어서 묶어준 후,

 

위와 같이 정리가 됬습니다. 여기서 막히는 분이 많으실 것 같은데,

이제 duality를 사용하시면 됩니다. duality를 사용하는 매커니즘은 다음과 같습니다.

1. duality를 만들어준다.

2. 식을 정리한다.

3. 다시 원래대로 돌려주기 위해 duality를 다시 해준다.

이제 듀얼리티를 한번 해보겠습니다.

 

다음과 같이 아주 깔끔하게 정리가 됩니다. 이제 다시 duality를 해서 돌려주겠습니다.

 

따라서 답은 x+y+z 입니다.

 

Magnetization 이란 간단하게 말해서 외부 자기장에 의해 내부 자기모멘트가 반응하거나 생기는 것을 의미하며, 더 쉽게 말하면 자기력의 영향을 받아 자석처럼 되는 현상을 말합니다.

 

모든 물질은 원자들로 구성되어있으며, 원자는 양전하의 핵과, 핵을 돌고있는 음전하들로 구성 되어있다. 궤도를 회전하는 궤도전자는 핵을 회전하는 전류를 발생시키고, 미시적인 Magnetic dipole(자기 쌍극자)를 발생 시킵니다. 또한 전자와 핵은 그 자체로도 어느 정도의 자기 쌍극자 모멘트를 갖고 자기 자신의 축에 자전(spin)합니다. 그러나 자전하는 핵의 자기쌍극자 모멘트는 핵의 질량이 무겁고 각속도도 작기 때문에 전자에 비해서 무시해도 될 정도 입니다.

 

외부에서 가해지는 자기장이 없는 경우, 대부분의 materials(매질들)을 구성하는 atoms(원자들)의 자기 쌍극자들은 일정한 방향을 가지지 않습니다. 따라서 순 자기 모멘트는 없습니다.

외부에서 자기장이 가해질 경우, 전자들의 궤도운동의 변화가 생기며 이로 인한 유도 자기 모멘트와 자전하는 전자들의 자기 모멘트가 일정한 방향을 가지고 정렬 하게 됩니다. 이 때 이 현상을 Magnetization(자화) 라고 하며,  Magnetization vector M이라는 벡터를 사용하여 자화되는 정도(자화효과의 크기)를 정량적으로 표현할 수 있습니다.

 

자기 모멘트가 일정한 방향을 가지고 정렬이 되면서 물체의 Volume current density와 Surface current density를 자화벡터를 이용하여 정의 할 수 있습니다.

 

만약 M이 매질내에서 균일하다면, 내부의 전류는 모두 상쇄될 것입니다. 표면 전류밀도는 정확하게 M과 미소면적 ds에 수직이며 밖으로 나가는 방향으로써 주어지는 벡터와의 벡터곱 방향으로 주어집니다.

또한 표면자하밀도와 체적자하밀도는 다음과 같이 씁니다.